Навчальна тема

Теорема Кастіліано та інтеграл Мора

Обчислення інтеграла Мора графічним способом Верещагіна.

Теорема Кастіліано та інтеграл Мора дають змогу знаходити окремі лінійні й кутові переміщення пружних стержневих систем через енергію деформації або добутки внутрішніх силових факторів двох станів.

Теорема Кастіліано

Для лінійно-пружної системи переміщення в напрямку узагальненої сили можна знайти диференціюванням потенціальної енергії деформації за цією силою:

$$\delta_i=\frac{\partial U}{\partial P_i}.$$

Аналогічно кут повороту в місці прикладання узагальненого моменту:

$$\varphi_i=\frac{\partial U}{\partial M_i}.$$

Якщо потрібного навантаження в реальній схемі немає, у потрібному напрямку можна ввести допоміжну силу або момент, записати U як функцію цього параметра, виконати диференціювання, а потім прирівняти допоміжний параметр до нуля.

Для балки, де враховують переважно енергію згину, $U=\int M^2/(2EI)\,dx$. Якщо $M$ залежить від сили $P$, диференціювання дає:

$$\delta_P=\frac{\partial U}{\partial P}=\int\frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial P}\,dx.$$

Величина $\partial M/\partial P$ фактично збігається з епюрою моменту від одиничної сили в напрямку $P$ для лінійної системи, що показує зв’язок Кастіліано з методом одиничного навантаження.

Допоміжна сила або момент

Якщо в точці шуканого переміщення немає реальної сили, вводять допоміжний параметр $X$ у потрібному напрямку. Внутрішні силові фактори записують як функції $X$, знаходять $\partial U/\partial X$, а після диференціювання підставляють $X=0$.

Інтеграл Мора

Переміщення в заданій точці та напрямку можна визначити методом одиничного навантаження. Для згину балки або рами:

$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)\,\bar M(x)}{EI}\,dx,$$

де M(x) — згинальний момент від реального навантаження, а $\bar M(x)$ — момент від одиничної сили, прикладеної в точці й напрямку шуканого лінійного переміщення.

Для шуканого кута повороту прикладають одиничний момент.

У загальному стержневому випадку внески можна сумувати:

$$\delta=\int\frac{N\bar N}{EA}\,dx+\int\frac{M\bar M}{EI}\,dx+\int\frac{T\bar T}{GJ_p}\,dx+\int\frac{Q\bar Q}{\kappa GA}\,dx,$$

якщо відповідні деформації враховуються прийнятою моделлю.

Для лінійного переміщення одиничну силу прикладають у напрямку шуканого переміщення. Для кута повороту прикладають одиничний момент. Знак отриманого результату показує, чи збігається фактичний напрям переміщення з напрямком одиничного навантаження.

Алгоритм методу одиничного навантаження

Розрахувати систему від реального навантаження та побудувати потрібні епюри внутрішніх сил.
Прибрати реальне навантаження й прикласти одиничну силу або момент у точці та напрямку шуканого переміщення.
Побудувати одиничні епюри.
Записати інтеграл Мора по всіх ділянках і елементах.
Врахувати фактичні $EA$, $EI$, $GJ_p$ та, якщо потрібно, зсувну жорсткість.
Обчислити інтеграли й підсумувати внески.

Спосіб Верещагіна

Для ділянки зі сталою жорсткістю EI інтеграл Мора $\int M\bar M/(EI)\,dx$ можна обчислювати графоаналітично, якщо одна з перемножуваних епюр на ділянці є лінійною.

Побудуйте епюру M від реального навантаження та одиничну епюру $\bar M$ для шуканого переміщення.
Розбийте балки або раму на ділянки, де EI стала, а епюри мають зручну геометричну форму.
Для кожної простої частини однієї епюри визначте її алгебраїчну площу $\Omega$ та координату центра ваги.
На іншій, лінійній на цій ділянці епюрі знайдіть ординату $\bar M_c$ під центром ваги першої площі.
Обчисліть внесок $\Delta=\Omega\bar M_c/(EI)$ з урахуванням знаків епюр.
Підсумуйте внески всіх ділянок. Додатний результат відповідає напряму введеного одиничного навантаження, від’ємний — протилежному.

Якщо жодна з епюр на ділянці не є лінійною, просте правило «площа × ордината під центром ваги» загалом не застосовують без додаткового розкладання або прямого інтегрування.

Спосіб Верещагіна особливо ефективний для балок і рам із ділянками сталої $EI$ та простими епюрами. Він замінює частину аналітичного інтегрування операціями з площами епюр і ординатами.

Взаємність

Для лінійно-пружної системи робота сил одного стану на переміщеннях, спричинених іншим станом, дорівнює взаємній роботі:

$$\sum_i P_i^{(1)}\delta_i^{(2)}=\sum_i P_i^{(2)}\delta_i^{(1)}.$$

Як окремий випадок для двох одиничних сил отримують теорему Максвелла про взаємність переміщень:

$$\delta_{ij}=\delta_{ji}.$$

Тобто переміщення в точці i у напрямку сили i від одиничної сили в точці j дорівнює відповідному переміщенню в точці j від одиничної сили в точці i, якщо система лінійно-пружна і виконуються умови взаємності.

Теореми взаємності дають корисний контроль результатів одиничних розрахунків і дозволяють інколи вибрати простіший взаємний стан.

Позначення

$U$ — потенціальна енергія деформації;
$M$ — згинальний момент від реального навантаження;
$EI$ — згинальна жорсткість;
$P$ — узагальнена сила, за якою визначають переміщення;
$\delta_P$ — переміщення в напрямку сили $P$;
$X$ — допоміжна сила або момент;
$EA$ — поздовжня жорсткість;
$GJ_p$ — крутильна жорсткість.

Типові помилки

Поширені помилки: неправильний напрям одиничного навантаження, пропуск окремих елементів або ділянок, змішування знаків епюр, використання одного $EI$ там, де жорсткість змінюється, та механічне застосування правила Верещагіна до двох нелінійних епюр.

Про цю тему

Інтеграл Мора дозволяє обчислити будь-яке переміщення від довільного навантаження шляхом прикладання одиничної сили або моменту. У даному розділі розглянуто застосування інтеграла Мора та його графічного аналога — способу перемноження епюр Верещагіна для балок і рам. Подано алгоритм перемноження прямолінійних та криволінійних епюр із використанням площ та ординат у центрах ваги.