Навчальна тема
Енергетичні методи
Як знаходити переміщення пружних систем енергетичними методами: енергія деформації, теорема Кастіліано, інтеграл Мора та взаємність робіт.
Енергетичні методи визначають переміщення та деформації пружних систем через роботу зовнішніх сил і потенціальну енергію деформації. Їх перевага полягає в тому, що для знаходження окремого переміщення часто не потрібно безпосередньо будувати повну функцію зігнутої осі.
Робота та енергія деформації
Під час поступового статичного навантаження зовнішні сили виконують роботу, яка в ідеальній пружній системі накопичується як потенціальна енергія деформації.
Для лінійно-пружної системи, яку навантажують статично від нуля до кінцевих значень сил, робота зовнішніх сил дорівнює накопиченій потенціальній енергії деформації:
$$A=U=\frac{1}{2}\sum_i P_i\delta_i+\frac{1}{2}\sum_j M_j\varphi_j.$$
Для однієї узагальненої сили P та відповідного переміщення δ:
$$U=\frac{1}{2}P\delta.$$
Множник 1/2 виникає тому, що в лінійній системі сила та відповідне переміщення зростають пропорційно від нуля до кінцевого значення.
Енергію можна виразити через внутрішні силові фактори та жорсткості елементів. Це створює зв’язок між силовим розрахунком і переміщеннями.
Для лінійно-пружного стержня потенціальну енергію деформації можна визначати інтегруванням внесків внутрішніх силових факторів уздовж довжини:
$$U_N=\int_0^L\frac{N^2(x)}{2EA}\,dx,$$
$$U_M=\int_0^L\frac{M^2(x)}{2EI}\,dx,$$
$$U_T=\int_0^L\frac{T^2(x)}{2GJ_p}\,dx.$$
За потреби врахування деформацій зсуву відповідний внесок записують у формі, узгодженій із прийнятою балковою моделлю, наприклад:
$$U_Q=\int_0^L\frac{Q^2(x)}{2\kappa GA}\,dx,$$
де κ — коефіцієнт зсуву, що залежить від форми перерізу та прийнятої моделі.
У лінійній системі сумарна енергія дорівнює сумі відповідних внесків, якщо вони описуються незалежними квадратичними членами.
Взаємність робіт і переміщень
Для лінійно-пружної системи робота сил одного стану на переміщеннях, спричинених іншим станом, дорівнює взаємній роботі:
$$\sum_i P_i^{(1)}\delta_i^{(2)}=\sum_i P_i^{(2)}\delta_i^{(1)}.$$
Як окремий випадок для двох одиничних сил отримують теорему Максвелла про взаємність переміщень:
$$\delta_{ij}=\delta_{ji}.$$
Тобто переміщення в точці i у напрямку сили i від одиничної сили в точці j дорівнює відповідному переміщенню в точці j від одиничної сили в точці i, якщо система лінійно-пружна і виконуються умови взаємності.
Взаємність є важливою властивістю лінійних пружних систем і лежить в основі низки одиничних та енергетичних методів.
Теорема Кастіліано
Для лінійно-пружної системи переміщення в напрямку узагальненої сили можна знайти диференціюванням потенціальної енергії деформації за цією силою:
$$\delta_i=\frac{\partial U}{\partial P_i}.$$
Аналогічно кут повороту в місці прикладання узагальненого моменту:
$$\varphi_i=\frac{\partial U}{\partial M_i}.$$
Якщо потрібного навантаження в реальній схемі немає, у потрібному напрямку можна ввести допоміжну силу або момент, записати U як функцію цього параметра, виконати диференціювання, а потім прирівняти допоміжний параметр до нуля.
Диференціюючи енергію $U$ за потрібною узагальненою силою, можна отримати відповідне лінійне або кутове переміщення.
Інтеграл Мора
Переміщення в заданій точці та напрямку можна визначити методом одиничного навантаження. Для згину балки або рами:
$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)\,\bar M(x)}{EI}\,dx,$$
де M(x) — згинальний момент від реального навантаження, а $\bar M(x)$ — момент від одиничної сили, прикладеної в точці й напрямку шуканого лінійного переміщення.
Для шуканого кута повороту прикладають одиничний момент.
У загальному стержневому випадку внески можна сумувати:
$$\delta=\int\frac{N\bar N}{EA}\,dx+\int\frac{M\bar M}{EI}\,dx+\int\frac{T\bar T}{GJ_p}\,dx+\int\frac{Q\bar Q}{\kappa GA}\,dx,$$
якщо відповідні деформації враховуються прийнятою моделлю.
Метод одиничного навантаження особливо зручний для балок, рам і стержневих систем, коли потрібно знайти одне конкретне переміщення або кут повороту.
Вибір методу
Кастіліано зручний, коли потенціальну енергію $U$ легко записати як функцію навантажень. Інтеграл Мора природно використовує епюри внутрішніх сил від реального та одиничного станів. Для кусково-лінійних епюр згинальних моментів інтеграл часто спрощують способом Верещагіна.
Межі застосування
Наведені тут класичні співвідношення орієнтовані на малі деформації та лінійно-пружну роботу системи. Для нелінійного матеріалу, великих переміщень або навантажень, що залежать від деформованої конфігурації, потрібні відповідні узагальнення.
Про цю тему
Енергетичні методи базуються на законі збереження енергії і є універсальним інструментом для обчислення переміщень у пружних системах будь-якої складності. У цьому розділі вивчено поняття роботи зовнішніх сил та накопиченої потенціальної енергії деформації. Розглянуто теорему Клапейрона, теорему про взаємність робіт Бетті та взаємність переміщень Максвелла, а також теорему Кастіліано для знаходження лінійних і кутових переміщень.