Навчальна тема
Центр ваги та статичні моменти площі
Як знайти центр ваги простого або складеного перерізу за статичними моментами площі Sx і Sy: формули, симетрія, отвори та приклад.
Центр ваги площі — геометрична точка, через яку проходять центральні осі перерізу. Його положення визначають за статичними моментами площі.
Статичні моменти площі відносно осей $x$ та $y$ визначають як:
$$S_x=\int_A y\,dA,\qquad S_y=\int_A x\,dA.$$
Координати центра ваги площі:
$$x_c=\frac{S_y}{A},\qquad y_c=\frac{S_x}{A}.$$
Для складеного перерізу, розбитого на прості частини:
$$x_c=\frac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i},\qquad y_c=\frac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i}.$$
Отвори при алгебраїчному підсумовуванні зручно враховувати як площі зі знаком мінус.
Калькулятор нижче використовує співвідношення $x_c=S_y/A$; статичний момент площі має ту саму розмірність $L^3$, що й момент опору.
Властивість центральних осей
Статичний момент усієї площі відносно осі, що проходить через її центр ваги, дорівнює нулю. Якщо фігура має вісь симетрії, центр ваги лежить на цій осі; за двох осей симетрії він розташований у точці їх перетину.
Складений переріз
Складну фігуру розбивають на прості частини. Для кожної частини визначають $A_i$ та координати її власного центра ваги. Після цього використовують алгебраїчні суми $\sum A_i x_i$ і $\sum A_i y_i$. Отвори враховують як від’ємні площі.
Приклад
Нехай два прямокутники мають площі $A_1=2000$ мм² і $A_2=1000$ мм², а координати їх центрів уздовж $y$ становлять 20 та 80 мм. Тоді:
$$y_c=\frac{2000\cdot20+1000\cdot80}{3000}=40\ \text{мм}.$$
Типові помилки
Не можна усереднювати координати центрів частин без урахування їх площ. Також важливо задавати всі координати від однієї базової осі та правильно враховувати знак площі отвору.
Про цю тему
Тема пояснює статичні моменти площі та метод визначення координат центра ваги плоского перерізу. Розглядаються прості й складені фігури, алгебраїчне сумування площ, врахування отворів та використання симетрії. Матеріал є основою для подальшого визначення центральних моментів інерції.