Навчальна тема
Центр ваги та статичні моменти площі
Статичні моменти площі Sx і Sy, координати центра ваги простих і складених плоских перерізів та правила врахування отворів.
0 практичних завдань · 0 підтем
Центр ваги площі — геометрична точка, через яку проходять центральні осі перерізу. Його положення визначають за статичними моментами площі.
Статичні моменти площі відносно осей $x$ та $y$ визначають як:
$$S_x=\int_A y\,dA,\qquad S_y=\int_A x\,dA.$$
Координати центра ваги площі:
$$x_c=\frac{S_y}{A},\qquad y_c=\frac{S_x}{A}.$$
Для складеного перерізу, розбитого на прості частини:
$$x_c=\frac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i},\qquad y_c=\frac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i}.$$
Отвори при алгебраїчному підсумовуванні зручно враховувати як площі зі знаком мінус.
Калькулятор нижче використовує співвідношення $x_c=S_y/A$; статичний момент площі має ту саму розмірність $L^3$, що й момент опору.
Властивість центральних осей
Статичний момент усієї площі відносно осі, що проходить через її центр ваги, дорівнює нулю. Якщо фігура має вісь симетрії, центр ваги лежить на цій осі; за двох осей симетрії він розташований у точці їх перетину.
Складений переріз
Складну фігуру розбивають на прості частини. Для кожної частини визначають $A_i$ та координати її власного центра ваги. Після цього використовують алгебраїчні суми $\sum A_i x_i$ і $\sum A_i y_i$. Отвори враховують як від’ємні площі.
Приклад
Нехай два прямокутники мають площі $A_1=2000$ мм² і $A_2=1000$ мм², а координати їх центрів уздовж $y$ становлять 20 та 80 мм. Тоді:
$$y_c=\frac{2000\cdot20+1000\cdot80}{3000}=40\ \text{мм}.$$
Типові помилки
Не можна усереднювати координати центрів частин без урахування їх площ. Також важливо задавати всі координати від однієї базової осі та правильно враховувати знак площі отвору.