Навчальна тема
Осьові та полярний моменти інерції площі
Визначення Ix, Iy та Jp, фізико-геометричний зміст моментів інерції площі, одиниці та формули для прямокутника і круга.
0 практичних завдань · 0 підтем
Момент інерції площі характеризує, як площа поперечного перерізу розподілена відносно вибраної осі. Він не є масовим моментом інерції та не залежить від густини матеріалу.
Геометричні моменти другого порядку відносно осей $x$ та $y$:
$$I_x=\int_A y^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x^2\,dA.$$
Відцентровий момент інерції:
$$I_{xy}=\int_A xy\,dA.$$
Полярний момент інерції відносно точки перетину ортогональних осей:
$$J_p=\int_A(x^2+y^2)dA=I_x+I_y.$$
Осьові моменти $I_x$, $I_y$ та полярний момент $J_p$ мають розмірність довжини в четвертому степені, наприклад мм⁴.
Геометричний зміст
Елементи площі, розташовані далеко від осі, дають значно більший внесок у $I$ через квадрат відстані. Саме тому профілі з матеріалом, винесеним до крайніх зон, можуть мати великий момент інерції при відносно невеликій площі.
Стандартні фігури
| Фігура | Площа $A$ | Центральний момент інерції | Момент опору |
|---|---|---|---|
| Прямокутник $b\times h$, вісь $x$ паралельна стороні $b$ | $bh$ | $I_x=bh^3/12$ | $W_x=bh^2/6$ |
| Прямокутник $b\times h$, вісь $y$ паралельна стороні $h$ | $bh$ | $I_y=hb^3/12$ | $W_y=hb^2/6$ |
| Круг діаметром $d$ | $\pi d^2/4$ | $I_x=I_y=\pi d^4/64$ | $W_x=W_y=\pi d^3/32$ |
| Круг діаметром $d$, полярна характеристика | $\pi d^2/4$ | $J_p=\pi d^4/32$ | $W_p=\pi d^3/16$ |
| Кільце із зовнішнім діаметром $D$ та внутрішнім $d$ | $\pi(D^2-d^2)/4$ | $I_x=I_y=\pi(D^4-d^4)/64$ | $W_x=2I_x/D$ |
Полярний момент
Для двох взаємно перпендикулярних осей $x$ та $y$, що проходять через одну точку, $J_p=I_x+I_y$. Для круглого вала ця характеристика безпосередньо входить у класичні формули кручення.
Одиниці
Якщо геометричні розміри задані в міліметрах, моменти інерції мають одиниці мм⁴. Через четвертий степінь навіть невелика зміна характерного розміру може суттєво змінити $I$.
Приклад
Для прямокутника $b=40$ мм, $h=80$ мм відносно центральної осі $x$, паралельної $b$:
$$I_x=\frac{40\cdot80^3}{12}\approx1{,}707\cdot10^6\ \text{мм}^4.$$