Навчальна тема

Контакт циліндрів і роликів

Лінійний контакт циліндрів і роликів: ширина контактної смуги, розподіл тиску та вплив навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.

0 практичних завдань · 0 підтем

Підтема пояснює розрахункову модель контакту циліндрів і роликів. Розглядаються утворення контактної смуги, нерівномірний розподіл тиску, максимальний контактний тиск та основні фактори, що визначають контактні напруження.

Контакт циліндрів і роликів у класичній постановці Герца є лінійним контактом. Після пружної деформації ідеальна лінія дотику перетворюється на вузьку контактну смугу повної ширини $2b$.

Навантаження на одиницю довжини

Якщо повна нормальна сила дорівнює $F$, а довжина контакту $L$, вводять:

$$F'=\frac{F}{L}.$$

Саме $F'$ входить у класичні формули нескінченно довгого або достатньо довгого лінійного контакту.

Зведені характеристики

Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:

$$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

$E^*$ — приведений модуль пружності;
$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;
$\nu_1$, $\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.

Еквівалентно: $E^*=\left[(1-\nu_1^2)/E_1+(1-\nu_2^2)/E_2\right]^{-1}$.

Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:

$$\frac{1}{R^*}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

$R^*$ — приведений радіус кривизни;
$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.

Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.

Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.

Ширина контактної смуги

Для герцівського лінійного контакту двох циліндричних поверхонь навантаження зручно задавати на одиницю довжини контакту:

$$F'=\frac{F}{L}.$$

Півширина контактної смуги:

$$b=\sqrt{\frac{4F'R^*}{\pi E^*}}.$$

Розподіл контактного тиску поперек смуги має вигляд:

$$p(x)=p_0\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}},$$

а максимальний тиск у центрі контакту:

$$p_0=\frac{2F'}{\pi b}.$$

$F$ — повна нормальна контактна сила;
$L$ — довжина лінії контакту;
$F'$ — навантаження на одиницю довжини контакту;
$b$ — півширина контактної смуги;
$E^*$ — зведений модуль пружності;
$R^*$ — зведений радіус кривизни.

Калькулятор нижче використовує еквівалентну форму $F'=\pi E^*b^2/(4R^*)$ і дозволяє знаходити $F'$, $b$, $E^*$ або $R^*$.

Розподіл тиску

У межах $-b\le x\le b$ тиск змінюється за напівеліптичним законом:

$$p(x)=p_0\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}}.$$

У центрі смуги $p=p_0$, а на краях $p(\pm b)=0$.

Приклад

Два сталеві ролики з однаковими радіусами $R_1=R_2=50$ мм контактують по довжині $L=20$ мм під силою $F=10$ кН. Для сталі приймемо $E=210$ ГПа, $\nu=0{,}3$.

Навантаження на одиницю довжини:

$$F'=\frac{10000}{20}=500\ \text{Н/мм}.$$

Для однакових матеріалів:

$$E^*\approx115385\ \text{МПа},$$

а для двох однакових опуклих циліндрів:

$$R^*=\frac{R}{2}=25\ \text{мм}.$$

Тоді:

$$b=\sqrt{\frac{4\cdot500\cdot25}{\pi\cdot115385}}\approx0{,}372\ \text{мм},$$

$$p_0=\frac{2\cdot500}{\pi\cdot0{,}372}\approx856\ \text{МПа}.$$

Крайові ефекти

Реальні ролики мають скінченну довжину. Біля торців розподіл тиску може відрізнятися від ідеальної двовимірної моделі та створювати крайові концентрації. Профілювання роликів часто застосовують саме для зменшення таких піків.

Застосування

Лінійний герцівський контакт використовують як базову модель для роликових підшипників, коліс, кулачкових пар та інших деталей із локально близькою до циліндричної геометрією.