Розрахунок тонкостінних стержнів на міцність і жорсткість при крученні

Розрахунок тонкостінного стержня на кручення починають не з підстановки чисел у формулу, а з вибору правильної розрахункової моделі. Відкритий і замкнений профілі передають крутний момент принципово по-різному, а для відкритого профілю додатково потрібно встановити, чи є депланація вільною.

1. Визначити тип перерізу

Для відкритого профілю при вільній депланації застосовують теорію Сен-Венана. Для однокоміркового замкненого профілю — співвідношення Бредта—Бато. Для багатокоміркового профілю складають систему рівнянь для потоків у комірках. Якщо депланація відкритого профілю обмежена, враховують стиснене кручення.

2. Визначити внутрішній крутний момент

Методом перерізів будують закон $T(x)$. Якщо момент змінюється вздовж стержня, напруження і відносний кут закручування визначають для характерних ділянок окремо.

3. Перевірити міцність

Для замкненого однокоміркового профілю

$$q=\frac{T}{2A_m},\qquad \tau(s)=\frac{q}{t(s)}=\frac{T}{2A_m t(s)}.$$

Для відкритого профілю використовують розподіл напружень Сен-Венана та сталу кручення $J_t$. При стисненому крученні до дотичних напружень додаються нормальні напруження від бімоменту:

$$\sigma_\omega=\frac{B\omega}{I_\omega}.$$

4. Перевірити жорсткість

Для моделі Сен-Венана або еквівалентної моделі через сталу кручення

$$\theta'(x)=\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}.$$

Повний кут закручування:

$$\theta=\int_0^L\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}\,dx.$$

Для сталих $T$, $G$ і $J_t$:

$$\theta=\frac{TL}{GJ_t}.$$

Отриманий кут порівнюють із допустимим значенням, установленим вимогами конструкції.

5. Перевірити локальні зони

Тонкостінна теорія описує загальну роботу профілю, але не усуває концентрацій напружень. Окремої уваги потребують отвори, вирізи, зварні шви, різкі переходи товщини, вузли введення крутного моменту, діафрагми та місця закріплення депланації.

Типові помилки

Найпоширеніші помилки — використання формули круглого вала для відкритого профілю, заміна сталої кручення полярним моментом інерції, застосування формули Бредта до незамкненого контуру, ігнорування змінної товщини та неврахування обмеження депланації.

Раціональний вибір профілю

Якщо конструкція повинна сприймати значне кручення при малій масі, замкнений профіль зазвичай значно ефективніший за відкритий. Відкриті профілі доцільні там, де кручення невелике або забезпечене конструктивне розкріплення, а їхня технологічність чи робота на інші види навантаження є визначальною.