Навчальна тема
Кручення валів круглого та кільцевого перерізів
Кручення суцільних і порожнистих валів: крутний момент, полярний момент інерції, дотичні напруження, кут закручування та приклад розрахунку.
Кручення — деформування стержня під дією моментів відносно його поздовжньої осі. Для круглих і кільцевих валів у межах класичної теорії кручення поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного. Поняття дотичних напружень і закон Гука при зсуві введено раніше в темі «Чистий зсув та розрахунок з'єднань».
{{visualization:circular-shaft-torsion-animation}}Крутний момент
Внутрішній крутний момент $T$ у перерізі визначають методом перерізів із рівняння рівноваги моментів відносно осі вала. Для ступінчастого або багатонавантаженого вала $T$ визначають окремо на кожній ділянці та будують епюру крутних моментів.
Полярні характеристики перерізу
Для суцільного круглого перерізу діаметром $d$:
$$J_p=\frac{\pi d^4}{32},\qquad W_p=\frac{J_p}{d/2}=\frac{\pi d^3}{16}.$$
Для кільцевого перерізу із зовнішнім діаметром $D$ та внутрішнім діаметром $d$:
$$J_p=\frac{\pi(D^4-d^4)}{32},\qquad W_p=\frac{J_p}{D/2}=\frac{\pi(D^4-d^4)}{16D}.$$
- $J_p$ — полярний момент інерції площі;
- $W_p$ — полярний момент опору;
- $D$ — зовнішній діаметр;
- $d$ — діаметр суцільного вала або внутрішній діаметр кільцевого перерізу.
Калькулятор нижче призначений для суцільного круглого перерізу.
Полярний момент інерції $J_p$ характеризує геометричний опір перерізу кручення, а полярний момент опору $W_p$ зручно використовувати для визначення максимального дотичного напруження.
Дотичні напруження
Для круглого вала при пружному крученні дотичне напруження змінюється лінійно за радіусом:
$$\tau(\rho)=\frac{T\rho}{J_p},\qquad \tau_{\max}=\frac{T}{W_p}.$$
Кут закручування призматичної ділянки:
$$\varphi=\frac{TL}{GJ_p}.$$
- $T$ — крутний момент;
- $\rho$ — відстань від осі вала;
- $J_p$ — полярний момент інерції;
- $W_p$ — полярний момент опору;
- $G$ — модуль зсуву;
- $L$ — довжина ділянки;
- $\varphi$ — кут закручування, рад.
Для ступінчастого вала сумарний кут закручування визначають алгебраїчно: $\varphi=\sum_i T_iL_i/(G_iJ_{p,i})$.
У суцільному круглому валу дотичне напруження змінюється лінійно за радіусом: на осі $\tau=0$, а на зовнішній поверхні воно максимальне. Для кільцевого перерізу матеріал відсутній біля осі, тому при однаковій масі матеріалу порожнистий вал може використовувати матеріал ефективніше щодо кручення.
Розрахунок на міцність
У простій моделі допустимих напружень умова міцності має вигляд $|\tau_{\max}|\le[\tau]$. Для суцільного круглого вала це дозволяє підібрати діаметр за відомим $T$ і допустимим дотичним напруженням.
Розрахунок на жорсткість
Надмірне закручування може порушувати точність роботи механізму навіть при безпечних напруженнях. Тому повний або питомий кут закручування порівнюють із допустимим значенням. Для кількох ділянок кути закручування додають алгебраїчно.
Приклад
Для суцільного вала діаметром $d=40$ мм при $T=500$ Н·м спочатку переводимо момент у Н·мм: $T=500\,000$ Н·мм. Полярний момент опору:
$$W_p=\frac{\pi40^3}{16}\approx12566\ \text{мм}^3.$$
Тоді $\tau_{\max}=500000/12566\approx39{,}8$ МПа.
Застосування
Якщо вихідними даними є потужність і частота обертання, спочатку визначають $T$ у темі «Передача потужності валами». Теорія кручення круглого дроту також лежить в основі розрахунку гвинтових пружин.
Межі застосування
Наведені співвідношення стосуються насамперед круглих і кільцевих стержнів у лінійно-пружній області. Для некруглих перерізів розподіл напружень і деформацій при крученні має інший характер.
Про цю тему
При крученні валів круглого та кільцевого перерізів діє гіпотеза плоских перерізів, згідно з якою поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного на певний кут. Розділ присвячено визначенню полярних моментів інерції та опору, побудові епюр крутних моментів і кутів закручування. Подано розрахунки на міцність за допустимими дотичними напруженнями та розрахунки на жорсткість за допустимим питомим кутом закручування.