Навчальна тема
Розрахунок оболонок
Інтерактивні задачі з розрахунку тонкостінних оболонок: внутрішні зусилля, напруження та перевірка міцності конструкцій.
0 практичних завдань · 1 підтем
Оболонка — тонкостінний просторовий елемент, у якого одна геометрична розмірність — товщина $t$ — значно менша за характерні розміри серединної поверхні. До оболонок належать резервуари, труби великого діаметра, куполи, корпуси апаратів та інші криволінійні тонкостінні конструкції.
Серединна поверхня
Геометрію тонкої оболонки зручно описувати серединною поверхнею, розташованою приблизно посередині товщини. У кожній її точці виділяють два головні напрями кривизни з радіусами $R_1$ і $R_2$. Для оболонки обертання одним із напрямів є меридіональний, іншим — кільцевий.
Внутрішні зусилля
У загальній оболонковій теорії можуть виникати мембранні зусилля, поперечні сили, згинальні та крутні моменти на одиницю довжини. У безмоментній теорії залишають переважно зусилля, що діють у дотичній площині серединної поверхні.
Для нормальних мембранних зусиль $N_1$ та $N_2$ середні напруження при товщині $t$:
$$\sigma_1=\frac{N_1}{t},\qquad \sigma_2=\frac{N_2}{t}.$$
Рівновага криволінійного елемента
Для елемента тонкої оболонки, що працює в безмоментному стані під нормальним тиском p, локальна рівновага в напрямку нормалі приводить до рівняння:
$$\frac{N_1}{R_1}+\frac{N_2}{R_2}=p.$$
- N1, N2 — мембранні нормальні зусилля на одиницю довжини у двох головних напрямках серединної поверхні;
- R1, R2 — відповідні головні радіуси кривизни;
- p — результуюче нормальне навантаження на одиницю площі серединної поверхні.
Для оболонки сталої товщини t відповідні середні нормальні напруження: $\sigma_1=N_1/t$ та $\sigma_2=N_2/t$. Знаки повинні відповідати прийнятій конвенції для кривизни, тиску й мембранних зусиль.
Кривизна дозволяє мембранним зусиллям урівноважувати навантаження, нормальне до поверхні. Саме тому оболонки можуть ефективно передавати тиск при відносно малій товщині.
Циліндричні та сферичні оболонки
Для тонкостінної замкненої циліндричної оболонки радіуса r і товщини t під рівномірним внутрішнім надлишковим тиском p, далеко від країв і локальних збурень:
$$N_\theta=pr,\qquad \sigma_\theta=\frac{pr}{t},$$
$$N_z=\frac{pr}{2},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}.$$
Кільцеве напруження вдвічі більше за поздовжнє.
Для тонкостінної замкненої сферичної оболонки:
$$N=\frac{pr}{2},\qquad \sigma=\frac{pr}{2t}.$$
Формули є мембранними наближеннями для $t\ll r$ і рівномірного тиску; поблизу країв, отворів, опор та різких змін геометрії можуть виникати додаткові згинальні й локальні напруження.
Калькулятор нижче використовує кільцеве напруження тонкостінного циліндра.
Ці формули є базовими прикладами безмоментної роботи оболонок під внутрішнім тиском і показують істотний вплив геометрії на розподіл напружень.
Міцність
Після визначення мембранних напружень оцінюють небезпечний напружений стан. Для пластичних ізотропних матеріалів можуть застосовуватися відповідні критерії складного напруженого стану; вибір критерію й допустимих значень залежить від матеріалу та розрахункової методики.
Коли мембранної моделі недостатньо
Поблизу жорстких закріплень, фланців, опор, отворів, патрубків, стиків, зосереджених сил і різких змін товщини або кривизни виникають крайові та локальні ефекти. Тут згинальні моменти можуть бути істотними, тому безмоментна теорія не повинна автоматично використовуватися для локальної перевірки.
Послідовність розрахунку
- Перевірте, чи оболонка є тонкостінною та чи допустимо нехтувати згинальними моментами в області, що розглядається.
- Задайте серединну поверхню, товщину t, головні напрями та радіуси кривизни R1 і R2.
- Визначте зовнішнє навантаження: нормальний тиск, власну вагу або інші розподілені дії.
- Запишіть рівняння локальної рівноваги оболонки та, якщо потрібно, рівновагу відсіченої частини.
- Знайдіть мембранні зусилля N1 і N2 на одиницю довжини.
- Обчисліть середні мембранні напруження $\sigma_1=N_1/t$ і $\sigma_2=N_2/t$.
- Визначте небезпечні області та виконайте перевірку міцності за прийнятим критерієм.
- Окремо оцініть краї, отвори, опори, стики, зосереджені навантаження та різкі зміни геометрії, де безмоментна теорія може бути недостатньою.
Дочірня тема розглядає безмоментну теорію докладніше: її припущення, рівняння рівноваги та типові розрахункові схеми.