Навчальна тема
Безмоментна теорія
Інтерактивні задачі з безмоментної теорії оболонок: визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень у тонкостінних конструкціях.
0 практичних завдань · 0 підтем
Безмоментна теорія оболонок — наближена теорія, у якій згинальними й крутними моментами та поперечними силами нехтують, а навантаження передається переважно мембранними зусиллями в дотичній площині серединної поверхні.
Основні припущення
- товщина оболонки мала порівняно з характерними радіусами кривизни;
- напруження по товщині можна описувати середніми мембранними значеннями;
- область розрахунку достатньо віддалена від локальних крайових збурень;
- геометрія та навантаження дозволяють задовольнити рівновагу без істотних згинальних моментів.
Мембранні зусилля
У головних напрямах серединної поверхні нормальні зусилля $N_1$ і $N_2$ мають розмірність сили на одиницю довжини, наприклад Н/мм. Для товщини $t$:
$$\sigma_1=\frac{N_1}{t},\qquad \sigma_2=\frac{N_2}{t}.$$
Рівняння Лапласа
Для елемента тонкої оболонки, що працює в безмоментному стані під нормальним тиском p, локальна рівновага в напрямку нормалі приводить до рівняння:
$$\frac{N_1}{R_1}+\frac{N_2}{R_2}=p.$$
- N1, N2 — мембранні нормальні зусилля на одиницю довжини у двох головних напрямках серединної поверхні;
- R1, R2 — відповідні головні радіуси кривизни;
- p — результуюче нормальне навантаження на одиницю площі серединної поверхні.
Для оболонки сталої товщини t відповідні середні нормальні напруження: $\sigma_1=N_1/t$ та $\sigma_2=N_2/t$. Знаки повинні відповідати прийнятій конвенції для кривизни, тиску й мембранних зусиль.
Одного рівняння нормальної рівноваги загалом недостатньо для визначення двох невідомих мембранних зусиль. Друге співвідношення отримують із рівноваги частини оболонки, симетрії задачі або інших рівнянь мембранної рівноваги.
Циліндрична оболонка під внутрішнім тиском
Для циліндра один головний радіус кривизни дорівнює $r$, а вздовж твірної кривизна дорівнює нулю, тобто відповідний радіус формально нескінченний. Нормальна рівновага дає кільцеве зусилля $N_\theta=pr$. Поздовжнє зусилля в замкненому циліндрі визначають із рівноваги торцевої частини.
Для тонкостінної замкненої циліндричної оболонки радіуса r і товщини t під рівномірним внутрішнім надлишковим тиском p, далеко від країв і локальних збурень:
$$N_\theta=pr,\qquad \sigma_\theta=\frac{pr}{t},$$
$$N_z=\frac{pr}{2},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}.$$
Кільцеве напруження вдвічі більше за поздовжнє.
Для тонкостінної замкненої сферичної оболонки:
$$N=\frac{pr}{2},\qquad \sigma=\frac{pr}{2t}.$$
Формули є мембранними наближеннями для $t\ll r$ і рівномірного тиску; поблизу країв, отворів, опор та різких змін геометрії можуть виникати додаткові згинальні й локальні напруження.
Калькулятор нижче використовує кільцеве напруження тонкостінного циліндра.
Виведення поздовжнього зусилля циліндра
Тиск на торець створює результуючу $p\pi r^2$. Її врівноважує поздовжнє мембранне зусилля по колу:
$$2\pi r N_z=p\pi r^2,$$
звідки:
$$N_z=\frac{pr}{2}.$$
Сферична оболонка
Для сфери $R_1=R_2=r$, а через симетрію $N_1=N_2=N$. Із рівняння Лапласа:
$$\frac{N}{r}+\frac{N}{r}=p,$$
тому $N=pr/2$ і $\sigma=pr/(2t)$.
Приклад
Тонкостінний замкнений циліндр має внутрішній радіус $r=500$ мм, товщину $t=10$ мм і надлишковий внутрішній тиск $p=2$ МПа. Мембранні напруження:
$$\sigma_\theta=\frac{2\cdot500}{10}=100\ \text{МПа},$$
$$\sigma_z=\frac{2\cdot500}{2\cdot10}=50\ \text{МПа}.$$
Отже, для цієї ідеалізованої схеми кільцеве напруження є визначальнішим за поздовжнє.
Алгоритм розрахунку
- Перевірте, чи оболонка є тонкостінною та чи допустимо нехтувати згинальними моментами в області, що розглядається.
- Задайте серединну поверхню, товщину t, головні напрями та радіуси кривизни R1 і R2.
- Визначте зовнішнє навантаження: нормальний тиск, власну вагу або інші розподілені дії.
- Запишіть рівняння локальної рівноваги оболонки та, якщо потрібно, рівновагу відсіченої частини.
- Знайдіть мембранні зусилля N1 і N2 на одиницю довжини.
- Обчисліть середні мембранні напруження $\sigma_1=N_1/t$ і $\sigma_2=N_2/t$.
- Визначте небезпечні області та виконайте перевірку міцності за прийнятим критерієм.
- Окремо оцініть краї, отвори, опори, стики, зосереджені навантаження та різкі зміни геометрії, де безмоментна теорія може бути недостатньою.
Обмеження безмоментної теорії
Безмоментний стан зазвичай порушується поблизу жорстких країв, опор, фланців, патрубків, отворів, стиків, зосереджених навантажень і різких змін кривизни або товщини. У цих областях виникають згинальні та крайові напруження, для визначення яких потрібна моментна теорія оболонок або чисельний аналіз.