Навчальна тема
Формула Ейлера для критичної сили
Розрахунок критичної сили за формулою Ейлера: Ncr = π²EI/(μL)², зведена довжина, умови закріплення, гнучкість стержня та числовий приклад.
Формула Ейлера визначає критичну стискальну силу для ідеального прямого стержня великої гнучкості, який втрачає стійкість у межах лінійно-пружної роботи матеріалу.
Для прямого пружного стержня великої гнучкості критична сила за Ейлером:
$$N_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{l_{\mathrm{eff}}^2}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{(\mu L)^2}.$$
- $E$ — модуль Юнга;
- $I_{\min}$ — найменший центральний момент інерції поперечного перерізу;
- $L$ — фактична довжина стержня;
- $\mu$ — коефіцієнт зведеної довжини;
- $l_{\mathrm{eff}}=\mu L$ — зведена довжина.
Найменше $I$ визначає найслабшу площину втрати стійкості. Формула застосовна для пружної втрати стійкості за умов, близьких до ідеалізованої моделі Ейлера.
У калькуляторі коефіцієнт $\mu$ не задається як окрема невідома: використовується вже визначена зведена довжина $l_{\mathrm{eff}}$.
Вивід формули Ейлера
Розглянемо шарнірно закріплений стержень довжиною \(L\), стиснутий центральною силою \(N\). Після малого бокового відхилення \(y(x)\) згинальний момент дорівнює \(M(x)=-Ny(x)\).
Рівняння пружної лінії має вигляд
\[EI\frac{d^2y}{dx^2}+Ny=0.\]
Позначивши \(k^2=N/(EI)\), отримаємо розв’язок
\[y(x)=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx).\]
Із граничних умов \(y(0)=0\), \(y(L)=0\) випливає \(C_2=0\) і \(\sin(kL)=0\). Для першої форми \(kL=\pi\), тому
\[N_{cr}=\frac{\pi^2EI}{L^2}.\]
Загальна форма
Для інших схем закріплення використовують приведену довжину \(l_{eff}=\mu L\):
\[N_{cr}=\frac{\pi^2EI_{\min}}{l_{eff}^2}=\frac{\pi^2EI_{\min}}{(\mu L)^2}.\]
Фізичний зміст
Критична сила прямо пропорційна модулю Юнга та моменту інерції й обернено пропорційна квадрату приведеної довжини. Формула визначає межу стійкості ідеальної системи, а не гарантоване руйнівне навантаження реальної колони.
Приклад
Для сталевого шарнірно закріпленого стержня з \(E=200\) ГПа, \(L=2\) м і \(I_{min}=2\cdot10^{-6}\) м⁴:
\[N_{cr}=\frac{\pi^2\cdot200\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-6}}{2^2}\approx987\ \text{кН}.\]
Передумови
Модель передбачає пружний матеріал, центральне стискання, початково прямий стержень сталого перерізу, ідеалізовані закріплення та малі переміщення до критичного стану. Межі застосовності перевіряють за критичним напруженням і гнучкістю.
Про цю тему
Формула Ейлера є основою розрахунку стержнів великої гнучності на стійкість у межах пружності. У розділі наведено вивід формули Ейлера, визначення коефіцієнта зведеної довжини μ залежно від умов закріплення кінців стержня, а також поняття гнучності стержня λ та мінімального радіуса інерції поперечного перерізу.