Навчальна тема
Критичні напруження, межі формули Ейлера та формули проміжної гнучкості
Діаграма стійкості, критичні напруження, гранична гнучкість, формула Ясинського, Johnson, Tetmajer і Rankine–Gordon.
Критичне напруження показує середнє стискальне напруження, за якого стержень втрачає стійкість. Його залежність від гнучкості утворює діаграму стійкості, що дає змогу розрізнити короткі, проміжні та довгі стержні.
Критичне напруження за Ейлером можна записати через гнучкість:
$$\sigma_{\mathrm{cr},E}=\frac{N_{\mathrm{cr}}}{A}=\frac{\pi^2E}{\lambda^2}.$$
Формулу Ейлера застосовують у пружній області, коли критичне напруження не перевищує границю пропорційності $\sigma_p$. Граничну гнучкість отримують з умови $\sigma_{\mathrm{cr},E}=\sigma_p$:
$$\lambda_{\mathrm{lim}}=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}.$$
Отже, для $\lambda\ge\lambda_{\mathrm{lim}}$ ейлерівська модель відповідає умові пружної втрати стійкості. Для меншої гнучкості потрібні інші залежності або нормативні криві.
Ейлерівська область
Для довгих пружних стержнів
\[\sigma_{cr,E}=\frac{N_{cr}}{A}=\frac{\pi^2E}{\lambda^2}.\]
Граничну гнучкість отримують з умови \(\sigma_{cr,E}=\sigma_p\), де \(\sigma_p\) — границя пропорційності:
\[\lambda_{lim}=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}.\]
Формулу Ейлера застосовують, коли \(\lambda\ge\lambda_{lim}\) і критичний стан залишається в пружній області.
Стержні проміжної гнучкості
Для проміжної області використовують емпіричні або напівемпіричні залежності, параметри яких визначають за випробуваннями матеріалу. У традиційних курсах опору матеріалів поширена лінійна формула Ясинського:
Для стержнів проміжної гнучкості в навчальних інженерних розрахунках може застосовуватися емпірична формула Ясинського:
$$\sigma_{\mathrm{cr}}=a-b\lambda.$$
Тоді критична сила:
$$N_{\mathrm{cr}}=A\sigma_{\mathrm{cr}}=A(a-b\lambda).$$
- $\lambda$ — гнучкість стержня;
- $a, b$ — емпіричні коефіцієнти, що залежать від матеріалу та прийнятого довідкового джерела або методики.
Коефіцієнти $a$ і $b$ не є універсальними. Формулу потрібно використовувати лише в установленому для конкретного матеріалу діапазоні гнучкості; за його межами застосовують іншу модель або нормативну залежність.
Коефіцієнти \(a\) і \(b\) беруть із таблиць лише для конкретного матеріалу та визначеного діапазону гнучкості.
Назви в англомовній літературі
Назва Yasinsky formula в англомовних джерелах майже не є стандартною. Цю область зазвичай називають inelastic column buckling. Історично близькі залежності можуть подаватися як Tetmajer або Euler–Tetmajer formula, а поширеним параболічним наближенням є Johnson parabolic formula.
Інші наближені залежності
- Johnson formula — параболічна залежність для проміжної гнучкості;
- Rankine–Gordon formula — інтерполяція між руйнуванням від стиску та ейлерівським випучуванням;
- tangent-modulus approach — урахування зниження дотичного модуля в непружній області;
- нормативні криві стійкості — сучасний проєктний підхід із урахуванням недосконалостей.
Короткі стержні
За малої гнучкості загальна втрата стійкості може не бути визначальною. Несучу здатність тоді обмежують міцність матеріалу, місцеве випучування або інші граничні стани.
Вибір розрахункової моделі
- Визначити гнучкість і ейлерівське критичне напруження.
- Порівняти його з границею пропорційності матеріалу.
- Для довгого стержня застосувати формулу Ейлера.
- Для проміжного — дозволену емпіричну або нормативну залежність.
- Для короткого — перевірку міцності та місцевої стійкості.
Про цю тему
Формула Ейлера дає точні результати лише за умови, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності матеріалу. Для стержнів середньої та малої гнучності, де втрата стійкості відбувається в пластичній зоні, застосовують емпіричну формулу Ясинського. У розділі розглянуто межі застосовності формули Ейлера та розрахунок коефіцієнта зниження допустимого напруження φ.