Урахування способу закріплення при розрахунку на стійкість

Спосіб закріплення кінців істотно впливає на стійкість стиснутого стержня. Він визначає форму поздовжнього згину та відстань між точками перегину зігнутої осі. У розрахунку цей вплив ураховують за допомогою коефіцієнта приведеної довжини \(\mu\).

Приведена довжина стержня

Для використання формули Ейлера реальний стержень із заданими опорами замінюють умовним шарнірно закріпленим стержнем із приведеною довжиною

\[l_{\mathrm{eff}}=\mu L.\]

Тоді критична сила становить

\[N_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{(\mu L)^2}.\]

Оскільки \(N_{\mathrm{cr}}\) обернено пропорційна квадрату \(\mu\), навіть невелика зміна умов закріплення помітно впливає на несучу здатність стержня.

Ідеалізоване закріплення кінців	$\mu$	Зведена довжина $l_{\mathrm{eff}}$
Шарнір — шарнір	1,0	$L$
Защемлення — вільний кінець	2,0	$2L$
Защемлення — шарнір	приблизно 0,7	приблизно $0{,}7L$
Защемлення — защемлення	0,5	$0{,}5L$

Наведені значення відповідають ідеалізованим класичним схемам. Для реальних рам і пружних закріплень ефективна довжина залежить від жорсткості вузлів і взаємодії елементів.

Основні схеми закріплення

Закріплення кінців	\(\mu\)	\(l_{\mathrm{eff}}\)
Шарнір — шарнір	1,0	\(L\)
Защемлення — вільний кінець	2,0	\(2L\)
Защемлення — шарнір	приблизно 0,7	\(0{,}7L\)
Защемлення — защемлення	0,5	\(0{,}5L\)

Найменшу критичну силу за однакових \(E\), \(I\) та \(L\) має консольний стержень: його приведена довжина вдвічі більша за фактичну. Найжорсткішою з наведених ідеалізованих схем є стержень із защемленням обох кінців.

Як визначати коефіцієнт \(\mu\)

Спочатку встановлюють, чи забороняє кожна опора поперечне переміщення та поворот кінця стержня. Шарнір перешкоджає поперечному переміщенню, але допускає поворот; защемлення перешкоджає і переміщенню, і повороту; вільний кінець не створює таких обмежень. За відповідною ідеалізованою схемою обирають \(\mu\).

У реальних конструкціях вузли можуть мати скінченну жорсткість, а рама — допускати бічне переміщення. Тому табличні значення слід застосовувати лише тоді, коли прийнята схема дійсно відповідає роботі конструкції. Для рамних систем ефективну довжину визначають за нормативною методикою або розрахунком загальної стійкості.

Порівняльний приклад

Нехай стержні мають однакові матеріал, переріз і довжину. Приймемо критичну силу шарнірно закріпленого стержня за \(N_0\). Тоді для консолі \(N_{\mathrm{cr}}=N_0/4\), для схеми «защемлення — шарнір» — приблизно \(2N_0\), а для защемлення обох кінців — \(4N_0\). Отже, підвищення жорсткості вузлів може багаторазово збільшити теоретичну критичну силу.

Послідовність розрахунку

1. Визначити фактичну довжину стержня \(L\) і схему закріплення.
2. Обрати коефіцієнт приведеної довжини \(\mu\).
3. Обчислити \(l_{\mathrm{eff}}=\mu L\).
4. Знайти гнучкість \(\lambda=l_{\mathrm{eff}}/i_{\min}\).
5. Перевірити можливість застосування формули Ейлера та визначити критичну силу.