Навчальна тема
Диференціальне рівняння зігнутої осі балки
Як знайти прогин і кут повороту балки з рівняння EI·w''(x)=M(x): подвійне інтегрування, сталі інтегрування та граничні умови.
Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує навантаження балки через функцію згинального моменту $M(x)$ з її геометричною деформацією — прогином і кутом повороту.
Кривизна зігнутої осі
У класичній лінійно-пружній теорії згину кривизна зігнутої осі пов’язана зі згинальним моментом:
$$\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI},$$
де знак правої частини залежить від прийнятої системи знаків для $M$ і прогину.
Для малих кутів повороту кривизну наближено пов’язують із прогином:
$$\kappa\approx w''(x).$$
Тому диференціальне рівняння зігнутої осі часто записують у вигляді:
$$EI\,w''(x)=M(x),$$
або зі знаком мінус — відповідно до прийнятої конвенції.
- $\kappa$ — кривизна зігнутої осі;
- $\rho$ — радіус кривизни;
- $M$ — згинальний момент;
- $E$ — модуль Юнга;
- $I$ — момент інерції перерізу;
- $EI$ — згинальна жорсткість;
- $w(x)$ — поперечний прогин.
Калькулятор нижче використовує еквівалентну залежність $M=EI/\rho$.
Точна геометрична кривизна плоскої кривої містить похідні прогину. Для малих кутів повороту, коли $|w'|\ll1$, знаменник точного виразу можна наближено прийняти рівним одиниці, тому кривизна пропорційна другій похідній прогину.
Наближене диференціальне рівняння
У прийнятій системі знаків рівняння записують як $EIw''(x)=M(x)$ або $EIw''(x)=-M(x)$. Важливо не змішувати різні конвенції знаків у межах одного розрахунку.
Подвійне інтегрування
- Визначте опорні реакції та функцію згинального моменту $M(x)$ на кожній ділянці балки.
- Запишіть диференціальне рівняння зігнутої осі в системі знаків, прийнятій у розрахунку: $EIw''(x)=\pm M(x)$.
- Проінтегруйте рівняння один раз і отримайте функцію кута повороту $\theta(x)\approx w'(x)$ зі сталою інтегрування.
- Проінтегруйте вдруге та отримайте функцію прогину $w(x)$ з другою сталою.
- Визначте сталі за граничними умовами на опорах і умовами неперервності між ділянками.
- Обчисліть потрібні кути повороту й прогини та знайдіть екстремуми, якщо це потрібно.
- Перевірте розмірності, виконання граничних умов і фізично очікуваний напрям деформації.
Після першого інтегрування отримують функцію кута повороту $\theta(x)$, після другого — функцію прогину $w(x)$. Для сталої згинальної жорсткості $EI$ її можна винести за знак інтеграла; якщо $E$ або $I$ змінюються по довжині, це потрібно враховувати по ділянках або безпосередньо в рівнянні.
Граничні умови
| Точка або опора | Типова умова | Фізичний зміст |
|---|---|---|
| Защемлення $x=a$ | $w(a)=0$, $\theta(a)=w'(a)=0$ | Немає поперечного переміщення та повороту |
| Шарнірна або коткова опора $x=a$ | $w(a)=0$ | Поперечне переміщення заборонене, поворот можливий |
| Вільний кінець без прикладеного моменту | $M=0$ | Крайова умова для внутрішнього моменту |
| Вільний кінець без поперечної сили | $Q=0$ | Крайова умова для внутрішньої поперечної сили |
| Межа двох ділянок без шарніра | $w_-=w_+$, $\theta_-=\theta_+$ | Неперервність прогину та кута повороту |
Приклад
Для консолі довжиною $L$ із силою $F$ на вільному кінці, за сталої $EI$, інтегрування рівняння згину з умовами $w(0)=0$ і $w'(0)=0$ приводить за модулем до відомих значень на вільному кінці:
$$|\theta(L)|=\frac{FL^2}{2EI},\qquad |w(L)|=\frac{FL^3}{3EI}.$$
Знаки залежать від напряму сили та прийнятого додатного напряму прогину.
Межі застосування
Наближене рівняння передбачає малі прогини та кути повороту, лінійно-пружну роботу й застосовність класичної балкової моделі. Для великих переміщень геометрична нелінійність потребує точнішого опису.
Про цю тему
Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує згинальний момент M(x), згинальну жорсткість EI та кривизну балки. Для малих кутів повороту використовують наближену форму EI·w''(x)=±M(x), де знак залежить від прийнятої системи знаків. Подвійне інтегрування дає кут повороту та прогин, а сталі інтегрування визначають із граничних умов на опорах і умов неперервності.