Навчальна тема
Переміщення при згині
Як визначають прогини й кути повороту балок при згині: зігнута вісь, жорсткість EI, граничні умови та перевірка допустимого прогину.
Під дією згинальних моментів балка деформується, а її початкова пряма вісь переходить у зігнуту вісь. Для оцінювання жорсткості визначають поперечний прогин $w(x)$ і кут повороту $\theta(x)$ поперечного перерізу.
Прогин і кут повороту
Прогин $w$ — поперечне переміщення точки осі балки. Для малих деформацій кут повороту перерізу наближено дорівнює похідній прогину: $\theta(x)\approx w'(x)$.
Згинальна жорсткість
У класичній лінійно-пружній теорії згину кривизна зігнутої осі пов’язана зі згинальним моментом:
$$\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI},$$
де знак правої частини залежить від прийнятої системи знаків для $M$ і прогину.
Для малих кутів повороту кривизну наближено пов’язують із прогином:
$$\kappa\approx w''(x).$$
Тому диференціальне рівняння зігнутої осі часто записують у вигляді:
$$EI\,w''(x)=M(x),$$
або зі знаком мінус — відповідно до прийнятої конвенції.
- $\kappa$ — кривизна зігнутої осі;
- $\rho$ — радіус кривизни;
- $M$ — згинальний момент;
- $E$ — модуль Юнга;
- $I$ — момент інерції перерізу;
- $EI$ — згинальна жорсткість;
- $w(x)$ — поперечний прогин.
Калькулятор нижче використовує еквівалентну залежність $M=EI/\rho$.
Добуток $EI$ називають згинальною жорсткістю. Збільшення $E$ або $I$ зменшує кривизну та, за інших однакових умов, прогини балки. Саме тому геометричний розподіл матеріалу в перерізі сильно впливає на жорсткість.
Граничні умови
| Точка або опора | Типова умова | Фізичний зміст |
|---|---|---|
| Защемлення $x=a$ | $w(a)=0$, $\theta(a)=w'(a)=0$ | Немає поперечного переміщення та повороту |
| Шарнірна або коткова опора $x=a$ | $w(a)=0$ | Поперечне переміщення заборонене, поворот можливий |
| Вільний кінець без прикладеного моменту | $M=0$ | Крайова умова для внутрішнього моменту |
| Вільний кінець без поперечної сили | $Q=0$ | Крайова умова для внутрішньої поперечної сили |
| Межа двох ділянок без шарніра | $w_-=w_+$, $\theta_-=\theta_+$ | Неперервність прогину та кута повороту |
Граничні умови визначають сталі інтегрування та повинні відповідати реальним опорам і з’єднанням. Для багатоділянкової балки додатково використовують умови неперервності прогину й кута повороту там, де немає внутрішнього шарніра або розриву.
Методи визначення переміщень
У дочірніх темах розглядаються безпосереднє інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів із функціями Маколея. В інших розділах курсу переміщення також можуть визначатися енергетичними методами.
Перевірка жорсткості
Розрахований максимальний прогин порівнюють із допустимим значенням, установленим умовами експлуатації або нормативною методикою: $|w_{\max}|\le[w]$. За потреби аналогічно обмежують кут повороту.
Приклад масштабу впливу перерізу
Для прямокутного перерізу $I=bh^3/12$. Якщо при незмінних $b$, $E$, $L$ і навантаженні збільшити висоту $h$ удвічі, $I$ зросте у $2^3=8$ разів. У межах тієї самої лінійної моделі характерні прогини, обернено пропорційні $EI$, відповідно істотно зменшаться.
Про цю тему
Під дією згинальних моментів вісь балки викривляється, утворюючи зігнуту вісь. У цьому розділі розглянуто лінійні переміщення (прогини w) та кутові переміщення (кути повороту перерізів θ). Вивчення переміщень необхідне для оцінки жорсткості елементів конструкцій та перевірки умови, за якою максимальний прогин не перевищує гранично допустимого значення, встановленого будівельними або машинобудівними нормами.