Навчальна тема
Згин
Класична теорія згину балок: епюри згинальних моментів та поперечних сил.
Згин — вид деформування стержня, за якого його поздовжня вісь викривляється під дією поперечних навантажень або прикладених моментів. До цього розділу студент уже знає геометричні характеристики перерізу, нормальні й дотичні напруження та основи НДС, тому згин об’єднує ці поняття в повний розрахунок балки.
1. Навантаження → $Q$ і $M$
Розрахунок починають з опорних реакцій. Далі методом перерізів визначають поперечну силу $Q(x)$ і згинальний момент $M(x)$ та будують їх епюри. Диференціальні залежності між інтенсивністю навантаження, $Q$ і $M$ використовують для аналізу форми епюр і перевірки результатів.
2. $M$ → нормальні напруження
Згинальний момент створює нормальні напруження: частина перерізу працює на розтяг, а частина — на стиск. Між ними проходить нейтральна вісь, на якій нормальне напруження в класичній моделі прямого згину дорівнює нулю.
Для прямого згину балки в межах лінійно-пружної моделі нормальне напруження змінюється лінійно з відстанню від нейтральної осі:
$$\sigma_x(y)=-\frac{My}{I}.$$
За модулем максимальне напруження в крайньому волокні:
$$|\sigma_{\max}|=\frac{|M|y_{\max}}{I}=\frac{|M|}{W},\qquad W=\frac{I}{y_{\max}}.$$
- $\sigma_x(y)$ — нормальне напруження в точці перерізу;
- $M$ — згинальний момент;
- $I$ — осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі;
- $y$ — координата точки від нейтральної осі;
- $y_{\max}$ — найбільша за модулем відстань до крайнього волокна;
- $W$ — момент опору перерізу.
Знак $\sigma_x$ залежить від знаку $M$, координати $y$ та прийнятої системи знаків; одна сторона перерізу працює на розтяг, інша — на стиск.
3. $Q$ → дотичні напруження
Поперечна сила створює дотичні напруження, розподіл яких залежить від форми перерізу. Для їх визначення в класичній теорії балок застосовують формулу Журавського.
Для поперечного згину дотичне напруження в точці перерізу визначають за формулою Журавського:
$$\tau=\frac{QS}{Ib}.$$
- $\tau$ — дотичне напруження;
- $Q$ — поперечна сила в перерізі;
- $S$ — статичний момент відсіченої частини площі відносно нейтральної осі;
- $I$ — момент інерції всього перерізу відносно нейтральної осі;
- $b$ — локальна ширина перерізу на рівні точки, де визначають $\tau$.
На вільній верхній або нижній межі суцільного перерізу $S$ прямує до нуля, тому $\tau$ також дорівнює нулю. Для прямокутного перерізу найбільше дотичне напруження розташоване на нейтральній осі.
4. $M$ → кривизна → переміщення
Під навантаженням вісь балки переходить у криву — зігнуту вісь. Основними кінематичними характеристиками є поперечний прогин $w$ та кут повороту перерізу $\theta$, а опір викривленню характеризує згинальна жорсткість $EI$.
У класичній лінійно-пружній теорії згину кривизна зігнутої осі пов’язана зі згинальним моментом:
$$\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI},$$
де знак правої частини залежить від прийнятої системи знаків для $M$ і прогину.
Для малих кутів повороту кривизну наближено пов’язують із прогином:
$$\kappa\approx w''(x).$$
Тому диференціальне рівняння зігнутої осі часто записують у вигляді:
$$EI\,w''(x)=M(x),$$
або зі знаком мінус — відповідно до прийнятої конвенції.
- $\kappa$ — кривизна зігнутої осі;
- $\rho$ — радіус кривизни;
- $M$ — згинальний момент;
- $E$ — модуль Юнга;
- $I$ — момент інерції перерізу;
- $EI$ — згинальна жорсткість;
- $w(x)$ — поперечний прогин.
Калькулятор нижче використовує еквівалентну залежність $M=EI/\rho$.
5. Міцність і жорсткість
Небезпечні перерізи визначають за епюрами внутрішніх силових факторів. Після цього перевіряють напруження та окремо прогини й кути повороту. Безпечні напруження ще не гарантують достатньої жорсткості балки.
Розрахунковий маршрут
Схема → реакції → $Q(x),M(x)$ → епюри → небезпечний переріз → нормальні й дотичні напруження → міцність → кривизна → прогини та кути повороту → жорсткість.
Дочірні теми послідовно охоплюють внутрішні сили та епюри, напруження, переміщення, диференціальне рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів. Геометричні характеристики $I$, $W$ і статичні моменти площі вивчаються безпосередньо перед згином в окремому розділі про плоскі перерізи.
Про цю тему
Згин — це вид деформування, при якому відбувається викривлення осі стержня (балки) під дією зовнішніх навантажень. У розділі розглядаються чистий та поперечний згин, а також прямий згин балок симетричного перерізу. Подано теорію формування внутрішніх силових факторів: поперечної сили Q та згинального моменту M. Детально розкрито диференціальні співвідношення Журавського між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою та згинальним моментом.