Кінетична енергія механічної системи

Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичних енергій усіх її матеріальних точок. Це скалярна величина, тому енергії окремих частин додаються алгебраїчно.

Загальне визначення

Для системи з $n$ точок:

$$T=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_iv_i^2}{2}.$$

Кінетична енергія системи невід’ємна та вимірюється в джоулях.

Теорема Кеніга

Кінетичну енергію системи можна подати як суму енергії поступального руху центра мас і енергії руху відносно центра мас:

$$T=\frac{Mv_C^2}{2}+T_C.$$

Цей розклад особливо корисний для твердого тіла.

Поступальний рух твердого тіла

При поступальному русі всі точки тіла мають однакову швидкість, тому:

$$T=\frac{Mv_C^2}{2}.$$

Обертання навколо нерухомої осі

Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю $\omega$ навколо нерухомої осі $z$, то:

$$T=\frac{I_z\omega^2}{2},$$

де $I_z$ — момент інерції тіла відносно осі обертання.

Плоскопаралельний рух

Для плоского руху твердого тіла:

$$T=\frac{Mv_C^2}{2}+\frac{I_C\omega^2}{2},$$

де $I_C$ — момент інерції відносно осі через центр мас, перпендикулярної до площини руху.

Приклад

Диск масою 4 кг має швидкість центра мас 3 м/с, момент інерції відносно центральної осі 0,5 кг·м² і кутову швидкість 4 рад/с. Тоді $T=4\cdot3^2/2+0{,}5\cdot4^2/2=18+4=22$ Дж.

Типові помилки

• використовувати лише поступальну складову для тіла, яке одночасно обертається;
• підставляти момент інерції відносно неправильної осі;
• додавати швидкості замість кінетичних енергій;
• забувати, що при чистому поступальному русі відносна кінетична енергія дорівнює нулю.