Прискорення точки

Прискорення точки характеризує швидкість зміни вектора швидкості. Воно може виникати як через зміну модуля швидкості, так і через зміну її напряму.

Вектор прискорення

Миттєве прискорення визначають як $\vec a=d\vec v/dt=d^2\vec r/dt^2$. На відміну від швидкості, вектор прискорення загалом не є дотичним до траєкторії.

Координатні та природні складові

У декартових координатах прискорення визначається другими похідними координат за часом:

$$a_x=\ddot x,\qquad a_y=\ddot y,\qquad a_z=\ddot z.$$

При природному способі задання руху:

$$a_\tau=\frac{dv}{dt},\qquad a_n=\frac{v^2}{\rho},$$

де $\rho$ — радіус кривизни траєкторії. Нормальне прискорення напрямлене до центра кривизни.

Дотичне прискорення

Складова $a_\tau=dv/dt$ описує зміну модуля швидкості. Якщо $a_\tau>0$ у напрямі руху, швидкість за модулем зростає; якщо дотична складова протилежна швидкості — модуль швидкості зменшується.

Нормальне прискорення

Складова $a_n=v^2/\rho$ зумовлена зміною напряму швидкості. Вона завжди напрямлена до центра кривизни траєкторії та дорівнює нулю для прямолінійного руху, де радіус кривизни формально прямує до нескінченності.

Повне прискорення

Оскільки дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, модуль повного прискорення дорівнює $a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}$. Напрям визначається векторною сумою $\vec a=a_\tau\vec\tau+a_n\vec n$.

Приклад

Точка рухається по колу радіуса $\rho=2$ м зі швидкістю 6 м/с, яка в даний момент зростає зі швидкістю 3 м/с². Тоді $a_\tau=3$ м/с², $a_n=6^2/2=18$ м/с², а $a=\sqrt{3^2+18^2}\approx18{,}25$ м/с².

Типові помилки

• вважати прискорення нульовим лише тому, що модуль швидкості сталий;
• напрямляти нормальне прискорення вздовж дотичної;
• плутати радіус кривизни траєкторії з відстанню до довільного центра координат;
• додавати $a_\tau$ і $a_n$ алгебраїчно при визначенні модуля повного прискорення.