Швидкість точки

Швидкість точки характеризує швидкість зміни її положення та напрям руху в даний момент. Середня швидкість описує зміну положення за скінченний проміжок часу, а миттєва швидкість визначається граничним переходом і є похідною радіус-вектора за часом.

Вектор швидкості

Для $\vec r=\vec r(t)$ миттєва швидкість дорівнює $\vec v=d\vec r/dt$. Вектор $\vec v$ напрямлений по дотичній до траєкторії в бік руху точки.

Координатний спосіб

Для руху точки з координатами $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ проекції швидкості дорівнюють похідним координат за часом:

$$v_x=\dot x,\qquad v_y=\dot y,\qquad v_z=\dot z.$$

Модуль швидкості:

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.$$

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії в бік руху.

Знаки $v_x$, $v_y$, $v_z$ показують, у якому напрямі змінюються відповідні координати. Нульова окрема проекція не означає, що точка нерухома.

Природний спосіб

Якщо положення задане дуговою координатою $s=s(t)$, алгебраїчна швидкість уздовж траєкторії дорівнює $v_s=ds/dt$. Векторно $\vec v=(ds/dt)\vec\tau$, де $\vec\tau$ — одиничний дотичний вектор у додатному напрямі відліку $s$.

Середня і миттєва швидкість

Середня векторна швидкість на інтервалі $\Delta t$ дорівнює $\Delta\vec r/\Delta t$. Вона залежить від переміщення, а не від довжини пройденої траєкторії. При $\Delta t\to0$ середня швидкість переходить у миттєву.

Приклад

Для руху $x=3t^2$, $y=4t$ маємо $v_x=6t$, $v_y=4$. При $t=1$ с модуль швидкості $v=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx7{,}21$ м/с. Напрям швидкості збігається з дотичною до траєкторії в цій точці.

Зупинка та зміна напряму

Точка миттєво нерухома, якщо весь вектор швидкості дорівнює нулю. У прямолінійному русі зміна знака алгебраїчної швидкості означає зміну напряму руху; сам момент $v=0$ потрібно аналізувати разом із законом руху.

Типові помилки

• плутати середню швидкість із відношенням пройденого шляху до часу;
• обчислювати модуль швидкості як суму модулів її проекцій;
• ігнорувати знаки проекцій при визначенні напряму;
• вважати, що $v_x=0$ означає повну зупинку точки.