Проекції сил

Проекція сили на вісь — алгебраїчна скалярна величина, що показує складову вектора сили вздовж вибраного напряму. Проекції дають змогу перейти від векторних співвідношень до скалярних рівнянь, тому вони є основою аналітичного розв’язування задач статики.

Проекція сили на координатну вісь

Проекція сили $F$ на вісь $x$ визначається через кут $\alpha$ між вектором сили та додатним напрямком осі:

$$F_x=F\cos\alpha$$

Знак проекції автоматично враховується косинусом кута. Для кута, заданого як гострий кут до осі, знак потрібно встановити за напрямком сили.

Якщо сила $\vec F$ утворює кут $\alpha$ з додатним напрямком осі $x$, її проекція дорівнює $F_x$. Аналогічно визначають $F_y$ і, для просторової задачі, $F_z$.

Знаки проекцій

Проекція додатна, якщо складова сили напрямлена в додатний бік осі, і від’ємна, якщо в протилежний. Якщо сила перпендикулярна до осі, її проекція на цю вісь дорівнює нулю.

Розкладання сили на площині

Для сили, що лежить у площині $xy$, можна записати $\vec F=F_x\vec i+F_y\vec j$. Якщо кут $\alpha$ відраховують від додатного напряму осі $x$, то $F_x=F\cos\alpha$, а $F_y=F\sin\alpha$ з урахуванням фактичних напрямків складових.

Перевірка через модуль сили

Для прямокутної декартової системи координат модуль плоского вектора пов’язаний із проекціями співвідношенням $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$. Це зручно використовувати для перевірки обчислень.

Приклад

Сила $F=10$ кН напрямлена під кутом $30^\circ$ до додатного напряму осі $x$ у першій чверті. Тоді $F_x=10\cos30^\circ\approx8{,}66$ кН, а $F_y=10\sin30^\circ=5$ кН. Обидві проекції додатні.

Типові помилки

• плутати кут до осі $x$ з кутом до осі $y$;
• записувати модуль проекції без урахування її знака;
• використовувати синус замість косинуса без перевірки, від якої осі задано кут;
• додавати модулі сил замість їх алгебраїчних проекцій.

У рівняннях рівноваги використовують саме алгебраїчні проекції всіх сил на вибрані координатні осі.