Момент сили відносно точки та осі

Момент сили характеризує обертальну дію сили. Він залежить не лише від модуля сили, а й від положення її лінії дії відносно точки або осі, щодо якої розглядають обертання.

Момент сили відносно точки

Нехай сила $\vec F$ прикладена в точці $A$, а $O$ — точка, відносно якої визначають момент. Вектор моменту задається векторним добутком:

$$\vec M_O=\vec r\times\vec F,$$

де $\vec r=\overrightarrow{OA}$. Напрям $\vec M_O$ визначають за правилом правої руки. Модуль можна записати як $M_O=rF\sin\alpha$, де $\alpha$ — кут між $\vec r$ і $\vec F$. Оскільки $d=r\sin\alpha$ є перпендикулярною відстанню від точки $O$ до лінії дії сили, для модуля отримуємо основну практичну формулу.

Модуль моменту сили відносно точки дорівнює добутку модуля сили на плече сили — найкоротшу відстань від точки до лінії дії сили:

$$M_O = Fd$$

де $M_O$ — момент сили відносно точки $O$, $F$ — модуль сили, $d$ — плече сили. У плоскій задачі знак моменту задають за прийнятим напрямом обертання: зазвичай проти годинникової стрілки — додатний, за годинниковою — від’ємний.

Знак моменту в плоскій задачі

Для плоскої системи сил момент зручно розглядати як алгебраїчну величину. Зазвичай обертання проти годинникової стрілки вважають додатним, а за годинниковою — від’ємним. Важливо один раз прийняти правило знаків і послідовно використовувати його в усіх рівняннях.

Коли момент дорівнює нулю

Якщо лінія дії сили проходить через точку $O$, плече $d=0$, тому момент відносно цієї точки дорівнює нулю. Через це силу можна переміщувати вздовж її лінії дії без зміни моменту відносно довільної точки.

Координатний спосіб

У плоскій системі $xy$, якщо $\vec r=(x,y)$, а $\vec F=(F_x,F_y)$, момент відносно початку координат визначається як

$$M_O=xF_y-yF_x.$$

Ця форма особливо зручна в задачах, де задано координати точки прикладання сили та її проекції.

Момент сили відносно осі

Момент сили відносно заданої осі дорівнює проекції вектора моменту сили відносно будь-якої точки цієї осі на напрям осі. Для одиничного вектора $\vec e$ уздовж осі:

$$M_{axis}=\vec e\cdot(\vec r\times\vec F).$$

У просторових задачах це дозволяє визначити, наскільки сила прагне обертати тіло саме навколо вибраної осі.

Приклад

До важеля прикладено силу $F=200$ Н, а перпендикулярна відстань від точки обертання до лінії дії сили становить $d=0{,}30$ м. Модуль моменту дорівнює $M=200\cdot0{,}30=60$ Н·м. Знак визначається напрямом можливого обертання відносно прийнятого правила.

Що потрібно вміти для задач

Перед обчисленням моменту визначте точку або вісь, знайдіть лінію дії сили, встановіть плече або розкладіть силу на проекції та перевірте знак. У складніших задачах моменти кількох сил підсумовують алгебраїчно. Цей прийом є основою рівнянь рівноваги у статиці.