Зведення системи сил до заданого центра

Зведення системи сил до заданого центра дає змогу замінити довільну сукупність сил і пар сил еквівалентною, компактнішою системою: однією силою, прикладеною в обраному центрі, та однією парою сил. Цей результат є основою подальшого аналізу рівноваги.

Перенесення сили до заданого центра

Силу $\vec F$, прикладену в точці $A$, можна перенести паралельно самій собі до точки $O$, якщо одночасно додати пару з моментом $\vec M_O=\vec r\times\vec F$, де $\vec r=\overrightarrow{OA}$. Отримана система еквівалентна початковій силі.

Головний вектор і головний момент

Довільну систему сил, що діє на абсолютно тверде тіло, можна звести до заданого центра $O$ у вигляді головного вектора і головного моменту:

$$\vec R=\sum_i\vec F_i,$$

$$\vec M_O=\sum_i(\vec r_i\times\vec F_i)+\sum_j\vec M_j,$$

де $\vec r_i$ — радіус-вектор від центра $O$ до точки прикладання сили $\vec F_i$, а $\vec M_j$ — моменти прикладених пар сил. Головний вектор не залежить від вибору центра зведення, а головний момент загалом залежить від нього.

У плоскій задачі головний вектор задають проекціями $R_x=\sum F_{ix}$ і $R_y=\sum F_{iy}$, а головний момент відносно центра $O$ — алгебраїчною сумою моментів усіх сил і прикладених пар.

Зміна центра зведення

Якщо систему вже зведено до центра $O$, то при переході до іншого центра $A$ головний вектор не змінюється. Головний момент перераховують за правилом перенесення:

$$\vec M_A=\vec M_O+\overrightarrow{AO}\times\vec R.$$

Отже, одна й та сама система має однаковий головний вектор у будь-якому центрі, але різні головні моменти, якщо $\vec R\ne0$.

Основні випадки після зведення

• якщо $\vec R=0$ і $\vec M_O=0$, система зрівноважена;
• якщо $\vec R=0$, але $\vec M_O\ne0$, система еквівалентна парі сил;
• якщо $\vec R\ne0$, подальша можливість зведення до однієї рівнодійної залежить від взаємного зв’язку головного вектора і головного моменту.

Приклад у плоскій задачі

Нехай сила 10 кН напрямлена вздовж $+y$ і прикладена на відстані 2 м праворуч від центра $O$. Після перенесення сили до $O$ потрібно додати момент $M_O=10\cdot2=20$ кН·м. За стандартного правила знаків цей момент додатний, оскільки початкова сила прагне обертати тіло проти годинникової стрілки відносно $O$.

Алгоритм зведення

1. обрати центр зведення $O$;
2. знайти проекції всіх сил і скласти головний вектор $\vec R$;
3. обчислити моменти всіх сил відносно $O$;
4. додати моменти заданих пар сил;
5. записати еквівалентну систему $\vec R$ і $\vec M_O$;
6. за потреби проаналізувати, чи можна спростити її далі.

Саме умови $\vec R=0$ і $\vec M_O=0$ приводять до загальних рівнянь рівноваги твердого тіла.