Просторова система сил

Просторова система сил — система, у якій лінії дії сил не обмежені однією площиною. Для її аналітичного опису використовують три координатні осі, векторні моменти та правила векторного добутку.

Сила у просторі

У декартовій системі координат силу записують як $\vec F=F_x\vec i+F_y\vec j+F_z\vec k$. Три проекції однозначно задають вектор сили, а їх знаки визначають напрями складових уздовж координатних осей.

Якщо просторова сила задана декартовими проекціями $F_x$, $F_y$ і $F_z$, її модуль визначають як:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}.$$

Проекції є алгебраїчними величинами, тому їх знаки визначають напрям вектора, а модуль сили завжди невід’ємний.

Напрямні косинуси

Якщо $\alpha$, $\beta$ і $\gamma$ — кути між вектором сили та додатними напрямами осей $x$, $y$, $z$, то $F_x=F\cos\alpha$, $F_y=F\cos\beta$, $F_z=F\cos\gamma$. Для напрямних косинусів виконується тотожність $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.

Сила вздовж заданої прямої

Якщо сила напрямлена від точки $A(x_A,y_A,z_A)$ до точки $B(x_B,y_B,z_B)$, спочатку утворюють вектор $\overrightarrow{AB}$. Після нормування отримують одиничний вектор $\vec e_{AB}=\overrightarrow{AB}/|\overrightarrow{AB}|$, а силу записують як $\vec F=F\vec e_{AB}$.

Момент сили відносно точки

Момент сили $\vec F$, прикладеної в точці $A$, відносно точки $O$ визначається векторним добутком $\vec M_O=\vec r\times\vec F$, де $\vec r=\overrightarrow{OA}$. Вектор моменту перпендикулярний до площини, утвореної $\vec r$ і $\vec F$, а його напрям визначають правилом правої руки.

Момент сили відносно осі

Момент відносно координатної або довільної осі дорівнює проекції вектора моменту сили на цю вісь. Якщо $\vec e$ — одиничний вектор осі, то $M_{axis}=\vec e\cdot(\vec r\times\vec F)$.

Головний вектор і головний момент

Для системи просторових сил головний вектор дорівнює $\vec R=\sum\vec F_i$, а головний момент відносно центра $O$ — $\vec M_O=\sum(\vec r_i\times\vec F_i)+\sum\vec M_j$. У тривимірній задачі кожен із цих векторів має три координатні складові.

Приклад

Нехай сила має проекції $F_x=3$ кН, $F_y=4$ кН і $F_z=12$ кН. Її модуль становить $F=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$ кН. Вектор сили можна записати як $\vec F=(3\vec i+4\vec j+12\vec k)$ кН.

Типові помилки

• використовувати плоску схему знаків для просторового векторного моменту;
• не нормувати вектор між двома точками перед множенням на заданий модуль сили;
• плутати момент відносно точки з його проекцією на вісь;
• міняти порядок множників у $\vec r\times\vec F$, що змінює знак моменту;
• ігнорувати одну з трьох складових сили або моменту.