Умови рівноваги просторової системи сил

Рівновага твердого тіла у просторі вимагає одночасної відсутності поступальної та обертальної дії системи сил. У векторній формі це означає $\sum\vec F=0$ і $\sum\vec M_O=0$. Після проєктування на три координатні осі отримують шість скалярних умов.

Загальні рівняння рівноваги

Для довільної просторової системи сил умови рівноваги абсолютно твердого тіла мають шість скалярних рівнянь:

$$\sum F_x=0,\quad \sum F_y=0,\quad \sum F_z=0,$$

$$\sum M_x=0,\quad \sum M_y=0,\quad \sum M_z=0.$$

Перші три рівняння означають рівність нулю головного вектора системи, а другі три — рівність нулю головного моменту відносно обраного центра.

Для одного абсолютно твердого тіла ці шість незалежних рівнянь є основним інструментом визначення невідомих реакцій просторових опор і навантажень.

Складові сил

Кожну просторову силу перед складанням рівнянь подають через компоненти $F_x$, $F_y$, $F_z$. Якщо напрям сили задано двома точками, спочатку визначають одиничний вектор її лінії дії, а потім множать його на модуль сили.

Складові моментів

Момент сили відносно точки $O$ обчислюють як $\vec M_O=\vec r\times\vec F$. Після цього вектор моменту розкладають на $M_x$, $M_y$, $M_z$. Прикладені пари сил також безпосередньо додають до відповідних складових сумарного моменту.

Вибір центра моментів

Як і в плоскій статиці, центр моментів можна вибирати з міркувань зручності. Якщо через точку проходять лінії дії кількох невідомих сил, їх моменти відносно цієї точки дорівнюють нулю. Проте в просторі потрібно уважно враховувати всі три складові векторного моменту.

Реакції просторових в’язей

Кількість невідомих реакцій визначається рухами, які забороняє в’язь. Наприклад, ідеалізоване жорстке просторове закріплення може передавати три складові сили та три складові моменту. Конкретну модель опори потрібно встановити до запису рівнянь.

Спеціальні системи

Для просторової збіжної системи сил усі лінії дії проходять через одну точку, тому незалежними умовами є три рівняння проекцій сил. Для інших спеціальних систем кількість необхідних рівнянь може зменшуватися через їх геометричні властивості, але загальні шість рівнянь залишаються базовою формою.

Приклад

На точку діють сили з компонентами $\vec F_1=(3,0,-4)$ кН, $\vec F_2=(-3,5,0)$ кН і $\vec F_3=(0,-5,4)$ кН. Суми всіх трьох проекцій дорівнюють нулю, тому ця збіжна система сил зрівноважена. Для довільної незбіжної системи додатково потрібно перевірити три рівняння моментів.

Алгоритм розв’язування

1. побудувати просторову схему вільного тіла;
2. замінити всі в’язі відповідними реакціями;
3. подати сили через декартові компоненти;
4. обрати центр $O$ і визначити моменти сил;
5. скласти рівняння $\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0$;
6. скласти рівняння $\sum M_x=\sum M_y=\sum M_z=0$;
7. розв’язати систему та перевірити фізичний зміст знайдених реакцій.

Типові помилки

• пропускати одну з трьох складових сили або моменту;
• неправильно визначати напрям одиничного вектора сили;
• плутати момент сили відносно точки з моментом відносно осі;
• порушувати порядок векторного добутку $\vec r\times\vec F$;
• використовувати шість рівнянь, не перевіривши правильність моделі просторових в’язей.