Розподілене навантаження та його рівнодійна

Розподілене навантаження діє не в одній точці, а безперервно вздовж певної довжини або по поверхні. У задачах статики для балки таке навантаження зазвичай описують інтенсивністю \(q\), тобто силою на одиницю довжини, наприклад Н/м або кН/м.

Розподіленим навантаженням можна моделювати власну вагу елемента, тиск уздовж балки або велику кількість близько розташованих сил, які зручніше замінити одним неперервним навантаженням.

Види розподіленого навантаження

Інтенсивність навантаження може бути сталою або змінюватися вздовж елемента. Найчастіше зустрічаються:

• Рівномірно розподілене навантаження: інтенсивність стала на всій завантаженій ділянці. Його епюра має форму прямокутника.
• Трикутне навантаження: інтенсивність лінійно змінюється від нуля до максимального значення або навпаки.
• Трапецієподібне навантаження: інтенсивність лінійно змінюється між двома ненульовими значеннями.
• Довільне нерівномірне навантаження: інтенсивність змінюється за деяким законом \(q(x)\), а епюра може бути криволінійною.

У рівняннях рівноваги розподілене навантаження часто замінюють однією еквівалентною зосередженою силою — його рівнодійною. Така заміна має зберігати і сумарну силу, і її момент.

Рівномірно розподілене навантаження

Почнемо з найпростішого випадку. Якщо стала інтенсивність \(q\) діє на довжині \(L\), рівнодійна дорівнює

\[R=qL.\]

Вона прикладена посередині завантаженої ділянки:

\[x_R=\frac{L}{2}.\]

Це легко побачити з прямокутної епюри: її площа дорівнює \(qL\), а центр ваги розташований посередині.

Трикутне навантаження

Якщо інтенсивність лінійно змінюється від нуля до \(q_{max}\), епюра має форму трикутника. Рівнодійна дорівнює площі цього трикутника:

\[R=\frac{q_{max}L}{2}.\]

Лінія дії рівнодійної проходить через центр ваги трикутника: на відстані \(2L/3\) від кінця з нульовою інтенсивністю або \(L/3\) від кінця з максимальною інтенсивністю.

Трапецієподібне навантаження

Трапецієподібне навантаження найпростіше розкласти на дві знайомі частини: рівномірне прямокутне навантаження та трикутне. Для кожної частини визначають власну рівнодійну і прикладають її в центрі ваги відповідної фігури, після чого сили об'єднують з урахуванням їхніх моментів.

Загальне правило: площа та центр ваги

У всіх попередніх випадках працює одне геометричне правило: величина рівнодійної дорівнює площі епюри розподіленого навантаження, а її лінія дії проходить через центр ваги цієї площі.

Для прямокутної, трикутної та складеної з простих фігур епюри цього правила зазвичай достатньо — інтегрування не потрібне.

Довільне нерівномірне навантаження

Якщо інтенсивність змінюється за довільним законом \(q(x)\), те саме правило площі та центра ваги записують у загальному математичному вигляді. Для навантаження на ділянці від \(x=a\) до \(x=b\):

\[R=\int_a^b q(x)\,dx.\]

Положення рівнодійної визначають з умови рівності моментів:

\[x_R=\frac{\int_a^b xq(x)\,dx}{\int_a^b q(x)\,dx}.\]

Отже, інтегральні формули — це не окремий новий метод, а узагальнення того самого правила площі та центра ваги, яке використовується для прямокутних, трикутних і трапецієподібних епюр.

Навантаження, що змінює напрям

Якщо \(q(x)\) змінює напрям, додатні та від'ємні частини епюри враховують алгебраїчно відповідно до прийнятої системи знаків. Формула для \(x_R\) застосовна, коли \(R\ne0\). Якщо сумарна рівнодійна дорівнює нулю, розподілена система може зводитися до чистого моменту.