Розподілене навантаження та його рівнодійна

Розподілене навантаження діє неперервно вздовж певної ділянки тіла. У плоских задачах для балки його часто задають інтенсивністю $q(x)$ — силою на одиницю довжини. Одиницею лінійної інтенсивності в SI є Н/м.

Еквівалентна зосереджена сила

Розподілене навантаження можна замінити рівнодійною силою, якщо зберегти її модуль, напрям і моментний ефект. Для навантаження $q(x)$ на відрізку від $a$ до $b$:

$$R=\int_a^b q(x)\,dx.$$

Геометрично модуль рівнодійної дорівнює площі під епюрою інтенсивності навантаження.

Рівномірно розподілене навантаження

Для рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності $q$ на ділянці довжиною $L$ модуль еквівалентної зосередженої сили дорівнює:

$$R=qL.$$

Лінія дії рівнодійної проходить через середину навантаженої ділянки.

Оскільки епюра такого навантаження є прямокутником, її центр площі лежить посередині. Саме через цю точку проходить лінія дії еквівалентної сили.

Точка прикладання для змінного навантаження

Координату лінії дії рівнодійної визначають з умови рівності моментів:

$$x_R=\frac{\int_a^b xq(x)\,dx}{\int_a^b q(x)\,dx}.$$

Отже, рівнодійна проходить через центр площі епюри $q(x)$. Для стандартних прямокутних, трикутних і трапецієподібних епюр це дозволяє користуватися відомими положеннями геометричних центрів площ.

Трикутне навантаження

Якщо інтенсивність лінійно змінюється від нуля до максимального значення $q_{max}$ на довжині $L$, модуль рівнодійної дорівнює площі трикутника: $R=q_{max}L/2$. Лінія дії проходить на відстані $L/3$ від боку з максимальною інтенсивністю або $2L/3$ від боку, де інтенсивність дорівнює нулю.

Трапецієподібне навантаження

Трапецієподібну епюру зручно подати як суму прямокутної та трикутної. Для кожної частини знаходять власну рівнодійну й точку її прикладання, після чого ці сили додають із урахуванням моментів.

Приклад

На балку на ділянці довжиною 4 м діє рівномірне навантаження $q=3$ кН/м униз. Його еквівалентна сила становить $R=qL=3\cdot4=12$ кН і прикладена посередині навантаженої ділянки, тобто на відстані 2 м від її початку.

Типові помилки

• плутати інтенсивність $q$ у кН/м із силою в кН;
• прикладати рівнодійну в середині ділянки для будь-якої форми епюри;
• не враховувати фактичне положення початку навантаженої ділянки на балці;
• визначати лише модуль рівнодійної, не зберігаючи її момент відносно вибраної точки.