Канонічні рівняння методу переміщень

Канонічні рівняння методу переміщень виражають умови відсутності реакцій у штучних додаткових в’язях після того, як система отримала свої фактичні вузлові переміщення.

Загальна форма

Для $n$ незалежних переміщень:

$$r_{i1}Z_1+r_{i2}Z_2+\cdots+r_{in}Z_n+R_{iP}=0,\qquad i=1,\ldots,n.$$

У матричному записі:

$$[r]\{Z\}=-\{R_P\}.$$

Коефіцієнти жорсткості

$r_{ij}$ — реакція в додатковій в’язі $i$, спричинена одиничним переміщенням $Z_j=1$ при нульових інших основних переміщеннях. Діагональний коефіцієнт $r_{ii}$ характеризує опір системи переміщенню $Z_i$.

Вантажні члени

$R_{iP}$ — реакція додаткової в’язі $i$ від заданого зовнішнього навантаження, коли всі основні переміщення заблоковані. Вона визначається з кінцевих сил у стержнях та рівноваги відповідного вузла або частини системи.

Взаємність

Для лінійно-пружної консервативної системи матриця коефіцієнтів є симетричною: $r_{ij}=r_{ji}$. Це важлива перевірка правильності одиничних станів і складання рівнянь.

Відновлення зусиль

Після знаходження $Z_j$ будь-який силовий фактор можна отримати суперпозицією, наприклад

$$M=M_P+Z_1M_1+\cdots+Z_nM_n.$$

Після цього перевіряють рівновагу вузлів, опорні реакції та граничні умови.