Навчальна тема
Правило Верещагіна
Як застосовувати правило Верещагіна для графоаналітичного обчислення інтеграла Мора: множення епюр, площа, ордината та умови застосування.
Правило Верещагіна — графоаналітичний спосіб обчислення інтеграла Мора для ділянок зі сталою згинальною жорсткістю. Воно замінює інтегрування операціями з площею однієї епюри та ординатою іншої.
Для ділянки зі сталою жорсткістю EI інтеграл Мора $\int M\bar M/(EI)\,dx$ можна обчислювати графоаналітично, якщо одна з перемножуваних епюр на ділянці є лінійною.
- Побудуйте епюру M від реального навантаження та одиничну епюру $\bar M$ для шуканого переміщення.
- Розбийте балки або раму на ділянки, де EI стала, а епюри мають зручну геометричну форму.
- Для кожної простої частини однієї епюри визначте її алгебраїчну площу $\Omega$ та координату центра ваги.
- На іншій, лінійній на цій ділянці епюрі знайдіть ординату $\bar M_c$ під центром ваги першої площі.
- Обчисліть внесок $\Delta=\Omega\bar M_c/(EI)$ з урахуванням знаків епюр.
- Підсумуйте внески всіх ділянок. Додатний результат відповідає напряму введеного одиничного навантаження, від’ємний — протилежному.
Якщо жодна з епюр на ділянці не є лінійною, просте правило «площа × ордината під центром ваги» загалом не застосовують без додаткового розкладання або прямого інтегрування.
Геометричний зміст
Якщо одна з функцій моменту на ділянці є лінійною (а одинична завжди є лінійною), інтеграл добутку можна обчислити через статичний момент площі іншої епюри. Ординату лінійної епюри беруть саме під центром ваги площі, а не в геометричному центрі довжини ділянки.
Знаки
Площі та ординати враховують алгебраїчно. Якщо епюри на ділянці розташовані з однаковим знаком, внесок додатний; за протилежних знаків — від’ємний.
Розбиття складної епюри
Трапеції, ламані та епюри зі зміною знака доцільно розкладати на прості фігури — прямокутники, трикутники або інші частини з відомими площами й центрами ваги. Внески обчислюють окремо та підсумовують.
Обмеження
Правило не слід механічно застосовувати, якщо обидві епюри нелінійні на одній ділянці. У такому разі потрібно виконати додаткове розбиття, вибрати іншу епюру як лінійну там, де це можливо, або обчислити інтеграл безпосередньо.
Про цю тему
Тема пояснює графоаналітичний спосіб множення епюр за правилом Верещагіна, умови його застосування та використання для обчислення переміщень.