Навчальна тема
Згин з крученням
Обчислення зведеного моменту та розрахунок міцності валів при згині з крученням.
Згин із крученням характерний для валів, які одночасно передають крутний момент і сприймають поперечні сили від зубчастих коліс, шківів, ланцюгових передач або інших елементів. У небезпечному перерізі згин створює нормальні напруження, а кручення — дотичні.
Результуючий згинальний момент
Якщо вал згинається у двох взаємно перпендикулярних площинах, спочатку визначають складові $M_x$ та $M_y$ і будують відповідні епюри.
Якщо в перерізі одночасно діють взаємно перпендикулярні складові згинального моменту Mx і My, модуль результуючого згинального моменту:
$$M_b=\sqrt{M_x^2+M_y^2}.$$
Для круглого перерізу, геометричні характеристики якого однакові відносно будь-якої центральної осі в площині перерізу, максимальне нормальне напруження від згину можна визначати як:
$$|\sigma_b|=\frac{M_b}{W}.$$
Для некруглих перерізів загалом необхідно враховувати орієнтацію моменту та моменти інерції відносно відповідних головних осей.
Напруження від згину та кручення
Для круглого вала максимальне нормальне напруження від згину виникає на зовнішній поверхні. Там же дотичне напруження від кручення є максимальним, тому зовнішні точки небезпечного перерізу є типовими кандидатами для перевірки складного напруженого стану.
У небезпечній точці круглого вала при сумісній дії згину та кручення часто маємо нормальне напруження від згину σb і дотичне напруження від кручення τt:
$$\sigma_b=\frac{M_b}{W},\qquad \tau_t=\frac{T}{W_p}.$$
Для такого плоского напруженого стану еквівалентне напруження за Губером–Мізесом–Генкі:
$$\sigma_{eq,VM}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}.$$
За критерієм Треска:
$$\sigma_{eq,T}=\sqrt{\sigma_b^2+4\tau_t^2}.$$
Отримане еквівалентне напруження порівнюють із допустимим значенням відповідно до матеріалу та прийнятої методики розрахунку.
Калькулятор використовує критерій Губера–Мізеса–Генкі для плоского стану «згин + кручення».
Критерії міцності
Для пластичних ізотропних матеріалів при складному напруженому стані поширені критерії Треска та Губера–Мізеса–Генкі.
Треска:
$$\sigma_{\mathrm{eq,T}}=\max\left(|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2-\sigma_3|,|\sigma_3-\sigma_1|\right).$$
Губера–Мізеса–Генкі:
$$\sigma_{\mathrm{eq,VM}}=\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}.$$
- $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ — головні напруження;
- $\sigma_{\mathrm{eq,T}}$ — еквівалентне напруження за критерієм Треска;
- $\sigma_{\mathrm{eq,VM}}$ — еквівалентне напруження за критерієм Губера–Мізеса–Генкі.
У розрахунку за допустимими напруженнями відповідне еквівалентне напруження порівнюють із допустимим значенням, узгодженим із властивостями матеріалу та прийнятою методикою.
Для пластичних ізотропних матеріалів часто використовують критерій Треска або Губера–Мізеса–Генкі. Вибір критерію та допустимого значення повинен відповідати властивостям матеріалу й прийнятій розрахунковій методиці.
Суцільний круглий вал
Для діаметра $d$:
$$W=\frac{\pi d^3}{32},\qquad W_p=\frac{\pi d^3}{16}=2W.$$
Тому для суцільного круглого вала критерій Мізеса можна також подати через моменти:
$$\sigma_{\mathrm{eq,VM}}=\frac{32}{\pi d^3}\sqrt{M_b^2+\frac{3}{4}T^2}.$$
А критерій Треска:
$$\sigma_{\mathrm{eq,T}}=\frac{32}{\pi d^3}\sqrt{M_b^2+T^2}.$$
Приклад
Нехай у перерізі суцільного вала $M_b=600$ Н·м, $T=400$ Н·м, $d=40$ мм. Після переведення моментів у Н·мм:
$$\sigma_b=\frac{32\cdot600000}{\pi40^3}\approx95{,}5\ \text{МПа},$$
$$\tau_t=\frac{16\cdot400000}{\pi40^3}\approx31{,}8\ \text{МПа}.$$
За Мізесом $\sigma_{\mathrm{eq,VM}}\approx\sqrt{95{,}5^2+3\cdot31{,}8^2}\approx110{,}2$ МПа.
Алгоритм розрахунку вала
- Визначити сили від передач і опорні реакції.
- Побудувати епюри $M_x$, $M_y$ та $T$.
- Знайти $M_b$ і небезпечні перерізи.
- Обчислити $W$ і $W_p$.
- Визначити $\sigma_b$ та $\tau_t$.
- Обчислити еквівалентне напруження за прийнятим критерієм.
- Перевірити міцність; за потреби окремо перевірити жорсткість і втому.
Зауваження
Шпонкові пази, галтелі, посадочні переходи та інші концентратори можуть істотно підвищувати локальні напруження. При циклічному навантаженні вала статичної перевірки за еквівалентним напруженням недостатньо — потрібен розрахунок на втому.
Про цю тему
Сумісна дія згину та кручення є основним робочим станом для більшості приводних валів машин і редукторів. У цьому розділі детально розглянуто методику побудови суміщених епюр згинальних та крутних моментів, визначення небезпечних перерізів та розрахунок зведеного (еквівалентного) моменту за третьою (головних дотичних напружень) та четвертою (енергетичною) теоріями міцності. Наведено приклади підбору діаметра вала.