Навчальна тема
Головні осі, головні моменти інерції та моменти опору
Головні центральні осі й моменти інерції, екстремальні геометричні характеристики та моменти опору перерізу для розрахунку згину.
0 практичних завдань · 0 підтем
Головні центральні осі — це взаємно перпендикулярні осі через центр ваги перерізу, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень.
При повороті ортогональних осей на кут $\theta$ геометричні моменти другого порядку перетворюються за формулами:
$$I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta-I_{xy}\sin2\theta,$$
$$I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta+I_{xy}\sin2\theta,$$
$$I_{x'y'}=\frac{I_x-I_y}{2}\sin2\theta+I_{xy}\cos2\theta.$$
Головні центральні осі мають $I_{x'y'}=0$. Їх орієнтацію визначають із:
$$\tan2\theta_p=-\frac{2I_{xy}}{I_x-I_y},$$
з урахуванням квадранта та прийнятого напряму відліку кута $\theta_p$.
Головні моменти інерції
Для заданих центральних $I_x$, $I_y$ та $I_{xy}$ головні значення можна знайти як:
$$I_{1,2}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)^2+I_{xy}^2}.$$
Більше значення позначають $I_1$, менше — $I_2$. Їх сума дорівнює $I_x+I_y$.
Момент опору
Для згину відносно заданої нейтральної осі геометричний момент опору визначають як:
$$W=\frac{I}{y_{\max}}.$$
Він має розмірність довжини в третьому степені, наприклад мм³, і безпосередньо входить у формулу максимального нормального напруження при чистому прямому згині: $|\sigma_{\max}|=|M|/W$.
Несиметричний переріз
Якщо нейтральна вісь не ділить висоту перерізу навпіл, відстані до крайніх волокон по різні боки різні. Тоді використовують окремі моменти опору $W_+=I/y_+$ та $W_-=I/y_-$.
Стандартні фігури
| Фігура | Площа $A$ | Центральний момент інерції | Момент опору |
|---|---|---|---|
| Прямокутник $b\times h$, вісь $x$ паралельна стороні $b$ | $bh$ | $I_x=bh^3/12$ | $W_x=bh^2/6$ |
| Прямокутник $b\times h$, вісь $y$ паралельна стороні $h$ | $bh$ | $I_y=hb^3/12$ | $W_y=hb^2/6$ |
| Круг діаметром $d$ | $\pi d^2/4$ | $I_x=I_y=\pi d^4/64$ | $W_x=W_y=\pi d^3/32$ |
| Круг діаметром $d$, полярна характеристика | $\pi d^2/4$ | $J_p=\pi d^4/32$ | $W_p=\pi d^3/16$ |
| Кільце із зовнішнім діаметром $D$ та внутрішнім $d$ | $\pi(D^2-d^2)/4$ | $I_x=I_y=\pi(D^4-d^4)/64$ | $W_x=2I_x/D$ |
Інженерний зміст
Великий момент інерції зменшує кривизну балки при заданому згинальному моменті, а великий момент опору зменшує максимальне нормальне напруження. Саме тому розташування матеріалу відносно нейтральної осі є ключовим при формуванні ефективного перерізу балки.