Навчальна тема
Відцентровий момент інерції та поворот осей
Відцентровий момент інерції Ixy, формули перетворення Ix, Iy та Ixy при повороті координатних осей і умова головних осей.
0 практичних завдань · 0 підтем
Відцентровий момент інерції $I_{xy}$ характеризує спільний розподіл площі відносно двох взаємно перпендикулярних осей. На відміну від $I_x$ та $I_y$, він може бути додатним, від’ємним або дорівнювати нулю.
Геометричні моменти другого порядку відносно осей $x$ та $y$:
$$I_x=\int_A y^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x^2\,dA.$$
Відцентровий момент інерції:
$$I_{xy}=\int_A xy\,dA.$$
Полярний момент інерції відносно точки перетину ортогональних осей:
$$J_p=\int_A(x^2+y^2)dA=I_x+I_y.$$
Осьові моменти $I_x$, $I_y$ та полярний момент $J_p$ мають розмірність довжини в четвертому степені, наприклад мм⁴.
Симетрія
Якщо одна з центральних осей є віссю симетрії перерізу, відцентровий момент відносно цієї осі та перпендикулярної до неї центральної осі дорівнює нулю. Проте $I_{xy}=0$ саме по собі не означає, що переріз обов’язково має геометричну симетрію.
Поворот осей
При повороті ортогональних осей на кут $\theta$ геометричні моменти другого порядку перетворюються за формулами:
$$I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta-I_{xy}\sin2\theta,$$
$$I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos2\theta+I_{xy}\sin2\theta,$$
$$I_{x'y'}=\frac{I_x-I_y}{2}\sin2\theta+I_{xy}\cos2\theta.$$
Головні центральні осі мають $I_{x'y'}=0$. Їх орієнтацію визначають із:
$$\tan2\theta_p=-\frac{2I_{xy}}{I_x-I_y},$$
з урахуванням квадранта та прийнятого напряму відліку кута $\theta_p$.
При повороті осей сума $I_x+I_y$ не змінюється. Це корисний інваріант для перевірки обчислень.
Головні осі
Орієнтації, для яких $I_{xy}=0$ і $I_x$ та $I_y$ набувають екстремальних значень, називають головними осями інерції. Якщо вони проходять через центр ваги, це головні центральні осі.
Практичне значення
Для несиметричних перерізів визначення головних осей потрібне при косому згині та інших задачах, де напрям навантаження не збігається зі звичними геометричними осями.