Навчальна тема

Теорія Герца. Основні припущення та формули

Теорія Герца для пружного контакту тіл: основні припущення, область застосування, контактний тиск і параметри, необхідні для інженерного розрахунку.

0 практичних завдань · 0 підтем

Підтема присвячена теорії Герца як базовій моделі пружного контакту тіл. Розглядаються її припущення, область застосовності, розподіл контактного тиску та параметри матеріалів і геометрії, що визначають контактні напруження.

Теорія Герца описує локальний пружний контакт гладких криволінійних тіл. Вона дозволяє визначити розміри контактної площадки, розподіл контактного тиску та характерні напруження в зоні контакту.

Основні припущення

матеріали тіл однорідні, ізотропні та лінійно-пружні;
деформації малі;
контактна область мала порівняно з характерними розмірами тіл і локальними радіусами кривизни;
поверхні гладкі, а класична нормальна контактна задача розглядається без істотного впливу тертя;
напруження в зоні контакту не повинні спричиняти значну пластичну деформацію, якщо використовується суто пружна модель.

Зведений модуль пружності

Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:

$$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

$E^*$ — приведений модуль пружності;
$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;
$\nu_1$, $\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.

Еквівалентно: $E^*=\left[(1-\nu_1^2)/E_1+(1-\nu_2^2)/E_2\right]^{-1}$.

Зведений радіус

Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:

$$\frac{1}{R^*}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

$R^*$ — приведений радіус кривизни;
$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.

Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.

Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.

Точковий сферичний контакт

Для осесиметричного контакту сферичних поверхонь радіус кругової площадки:

$$a=\left(\frac{3FR^*}{4E^*}\right)^{1/3}.$$

Максимальний контактний тиск:

$$p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}.$$

Розподіл тиску:

Для кругової герцівської плями контакту радіуса $a$ контактний тиск змінюється за законом:

$$p(r)=p_0\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}},\qquad 0\le r\le a$$

Максимальний тиск у центрі плями контакту:

$$p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}$$

$p(r)$ — контактний тиск на відстані $r$ від центра;
$p_0$ — максимальний контактний тиск;
$a$ — радіус кругової плями контакту;
$F$ — нормальна сила.

На межі плями контакту $p(a)=0$, а найбільше значення виникає при $r=0$.

Лінійний контакт

Для паралельних циліндрів контактна область наближено має форму вузької прямокутної смуги. Формули для півширини $b$ та максимального тиску $p_0$ використовують навантаження на одиницю довжини $F'=F/L$.

Для герцівського лінійного контакту двох циліндричних поверхонь навантаження зручно задавати на одиницю довжини контакту:

$$F'=\frac{F}{L}.$$

Півширина контактної смуги:

$$b=\sqrt{\frac{4F'R^*}{\pi E^*}}.$$

Розподіл контактного тиску поперек смуги має вигляд:

$$p(x)=p_0\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}},$$

а максимальний тиск у центрі контакту:

$$p_0=\frac{2F'}{\pi b}.$$

$F$ — повна нормальна контактна сила;
$L$ — довжина лінії контакту;
$F'$ — навантаження на одиницю довжини контакту;
$b$ — півширина контактної смуги;
$E^*$ — зведений модуль пружності;
$R^*$ — зведений радіус кривизни.

Калькулятор нижче використовує еквівалентну форму $F'=\pi E^*b^2/(4R^*)$ і дозволяє знаходити $F'$, $b$, $E^*$ або $R^*$.

Послідовність розрахунку

Визначте тип початкового контакту та локальні радіуси кривизни поверхонь.
Перевірте передумови пружної теорії Герца: мала контактна область, малі деформації, гладкі поверхні, відсутність істотної пластичності.
Обчисліть зведений модуль пружності $E^*$.
Визначте зведену кривизну або зведений радіус $R^*$ для відповідної геометрії.
За нормальною силою $F$ знайдіть розміри плями або смуги контакту.
Обчисліть максимальний контактний тиск $p_0$ і, за потреби, його розподіл $p(r)$ або $p(x)$.
Оцініть підповерхневий напружений стан та критерій контактної міцності, потрібний для конкретної деталі.
Перевірте вплив циклічності, тертя, мастила, шорсткості, перекосу й крайових ефектів, якщо вони істотні.

Обмеження

Теорія Герца не описує безпосередньо значну пластичність, грубу шорсткість, адгезію, складне тертя, тонкі покриття або контакт поблизу геометричних країв. Для таких задач потрібні модифіковані контактні моделі або чисельний аналіз.