Теорія Герца. Основні припущення та формули

Теорія Герца описує контактні напруження та деформації двох пружних тіл із криволінійними поверхнями в околі малої області контакту.

До навантаження тіла можуть дотикатися в точці або вздовж лінії. Після прикладання сили через пружну деформацію виникає скінченна контактна область, у якій діє нерівномірно розподілений контактний тиск.

Основні припущення теорії Герца

• матеріали тіл однорідні, ізотропні та лінійно-пружні;
• деформації малі;
• розміри області контакту малі порівняно з характерними радіусами кривизни тіл;
• поверхні в зоні контакту гладкі;
• у класичній постановці дотичними силами тертя нехтують, а навантаження передається нормальним тиском.

Приведені пружні характеристики

Для двох тіл із модулями Юнга \(E_1,E_2\) та коефіцієнтами Пуассона \(\nu_1,\nu_2\) вводять приведений модуль:

\[\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}.\]

Для сферичних поверхонь із радіусами \(R_1,R_2\) у найпростішому випадку зовнішнього контакту:

\[\frac{1}{R^*}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.\]

Кругова пляма контакту

Для осесиметричного контакту двох сферичних поверхонь або сфери з площиною радіус кругової плями контакту:

\[a=\left(\frac{3FR^*}{4E^*}\right)^{1/3}.\]

Максимальний контактний тиск у центрі плями:

\[p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}.\]

Розподіл тиску за радіальною координатою \(r\) має вигляд:

\[p(r)=p_0\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}},\qquad 0\le r\le a.\]

Отже, тиск найбільший у центрі контакту та плавно зменшується до нуля на межі плями.

Що визначає контактні напруження

Розміри контактної області та рівень тиску залежать від сили притискання, кривизни поверхонь і пружних властивостей обох матеріалів. Зі збільшенням навантаження контактна область зростає, але одночасно змінюється й максимальний контактний тиск.

Застосування

Теорію Герца використовують для оцінювання контактної міцності підшипників кочення, зубчастих передач, коліс і рейок, роликів, кулачкових механізмів та інших деталей із локальним контактом.

Класичні формули Герца не описують пластичне зминання, значне тертя, адгезію, шорсткість поверхні та великі деформації. У таких випадках потрібні уточнені контактні моделі.