Кут закручування і крутильна жорсткість замкненого профілю

Для замкненого тонкостінного профілю висока крутильна жорсткість пояснюється циркуляцією потоку дотичних зусиль по всьому контуру. Деформацію характеризують відносним кутом закручування

$$\theta'=\frac{d\theta}{dx}.$$

Формула Бато для кута закручування

Для однокоміркового замкненого профілю

$$\theta'=\frac{q}{2A_mG}\oint_C\frac{ds}{t}.$$

З урахуванням

$$q=\frac{T}{2A_m}$$

отримуємо

$$\theta'=\frac{T}{4A_m^2G}\oint_C\frac{ds}{t}.$$

Інтеграл беруть уздовж серединної лінії всього замкненого контуру.

Еквівалентна стала кручення

Записуючи

$$T=GJ_t\theta',$$

для однокоміркового замкненого тонкостінного профілю отримують

$$J_t=\frac{4A_m^2}{\displaystyle\oint_C ds/t}.$$

Якщо товщина стала, то

$$\oint_C\frac{ds}{t}=\frac{L_m}{t},$$

а отже

$$J_t=\frac{4A_m^2t}{L_m},$$

де $L_m$ — довжина серединної лінії контуру.

Кут закручування стержня

Для призматичного стержня зі сталим крутним моментом $T$ на довжині $L$:

$$\theta=\theta'L=\frac{TL}{GJ_t}.$$

У загальному випадку

$$\theta=\int_0^L\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}\,dx.$$

Порівняння з відкритим профілем

Замикання тонкої стінки різко підвищує крутильну жорсткість, оскільки момент передається потоком навколо площі комірки. Саме тому коробчасті та трубчасті профілі ефективні в конструкціях, де кручення є суттєвим.