Навчальна тема
Головні напруження та круг Мора
Як визначити головні площадки, головні напруження та максимальні дотичні напруження аналітично і за допомогою круга Мора.
Після визначення напружень на довільно орієнтованій площадці можна знайти особливі напрямки, у яких нормальні й дотичні компоненти набувають екстремальних значень.
Головні площадки та головні напруження
Головними називають площадки, на яких дотичне напруження дорівнює нулю. Нормальні напруження на цих площадках називають головними напруженнями.
Для плоского напруженого стану, заданого компонентами $\sigma_x$, $\sigma_y$ і $\tau_{xy}$, головні напруження визначають за формулою:
$$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.$$
На головних площадках дотичні напруження дорівнюють нулю. Орієнтацію головних площадок можна визначити зі співвідношення:
$$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},$$
з урахуванням квадранта та прийнятої системи знаків.
- $\sigma_1$, $\sigma_2$ — головні нормальні напруження;
- $\theta_p$ — кут орієнтації головної площадки;
- $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ — компоненти початкового плоского напруженого стану.
Круг Мора
Для плоского напруженого стану центр і радіус круга Мора визначають як:
$$C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.$$
Тоді головні напруження:
$$\sigma_1=C+R,\qquad \sigma_2=C-R,$$
а найбільше за модулем дотичне напруження в площині:
$$|\tau_{\max,\mathrm{in\text{-}plane}}|=R.$$
Повороту фізичної площадки на кут $\theta$ відповідає поворот радіуса на крузі Мора на кут $2\theta$. Напрям відліку залежить від прийнятої системи знаків.
Круг Мора є графічним поданням рівнянь перетворення напружень. Він дозволяє визначити головні напруження, максимальні дотичні напруження та напруження на площадці заданої орієнтації.
Максимальні дотичні напруження
У плоскому поданні радіус круга Мора дорівнює найбільшому дотичному напруженню серед площадок, нормалі яких лежать у площині $x$–$y$. Для повної тривимірної оцінки потрібно враховувати всі три головні напруження; абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює половині найбільшої різниці між ними.
Приклад
Нехай $\sigma_x=80$ МПа, $\sigma_y=20$ МПа, $\tau_{xy}=30$ МПа. Середнє напруження $C=50$ МПа, а радіус:
$$R=\sqrt{30^2+30^2}\approx42{,}43\ \text{МПа}.$$
Тоді $\sigma_1\approx92{,}43$ МПа, $\sigma_2\approx7{,}57$ МПа, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює приблизно 42,43 МПа.
Перевірка
Сума головних напружень повинна дорівнювати $\sigma_x+\sigma_y$, а їх середнє — координаті центра круга Мора. Ці співвідношення зручні для контролю обчислень.
Про цю тему
Визначення головних площадок, головних напружень і максимальних дотичних напружень для плоского напруженого стану. Круг Мора використовується як графічне подання результатів перетворення напружень.