Навчальна тема
Напружений та деформований стан
Плоский і просторовий напружений стан: компоненти тензора, головні площадки й напруження, деформації та перехід до оцінки міцності.
Напружений і деформований стан у точці узагальнює поняття, уже знайомі з простих видів навантаження. Після розтягу і стиску студент знає нормальні напруження $\sigma$ та лінійні деформації $\varepsilon$, а після зсуву і кручення — дотичні напруження $\tau$ та кутові деформації $\gamma$. У цьому розділі вони розглядаються спільно як компоненти стану в точці.
Від простої моделі до НДС
Напруження в точці залежать від орієнтації площадки. Тому для складного навантаження недостатньо знати одне значення $\sigma$ або $\tau$: потрібно встановити сукупність компонентів і визначити, як вони змінюються при повороті площадки.
Навчальна послідовність
- Напружений стан у точці та компоненти напружень.
- Плоский напружений стан і перетворення напружень.
- Головні напруження, головні площадки та круг Мора.
- Деформований стан у точці: лінійні та кутові деформації.
- Узагальнений закон Гука для лінійно-пружного ізотропного матеріалу.
- Теорії міцності та перехід від складного стану до перевірки міцності.
Плоский і просторовий стан
У тонких елементах, навантажених у своїй площині, часто застосовують модель плоского напруженого стану. Загальний просторовий стан описують нормальними компонентами $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\sigma_z$ і дотичними компонентами на координатних площадках.
Головні напруження
Існують взаємно перпендикулярні головні площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Нормальні напруження на них називають головними.
Для плоского напруженого стану, заданого компонентами $\sigma_x$, $\sigma_y$ і $\tau_{xy}$, головні напруження визначають за формулою:
$$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.$$
На головних площадках дотичні напруження дорівнюють нулю. Орієнтацію головних площадок можна визначити зі співвідношення:
$$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},$$
з урахуванням квадранта та прийнятої системи знаків.
- $\sigma_1$, $\sigma_2$ — головні нормальні напруження;
- $\theta_p$ — кут орієнтації головної площадки;
- $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ — компоненти початкового плоского напруженого стану.
Деформований стан і закон Гука
Деформації в точці описують лінійними деформаціями $\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $\varepsilon_z$ та кутовими деформаціями $\gamma_{xy}$, $\gamma_{yz}$, $\gamma_{zx}$. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу напруження та деформації пов’язує узагальнений закон Гука.
Для однорідного лінійно-пружного ізотропного матеріалу нормальні деформації при тривісному напруженому стані:
$$\varepsilon_x=\frac{1}{E}[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)],$$
$$\varepsilon_y=\frac{1}{E}[\sigma_y-\nu(\sigma_z+\sigma_x)],$$
$$\varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)].$$
Кутові деформації:
$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},\qquad \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G},\qquad \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G},$$
де $G=E/[2(1+\nu)]$.
- E — модуль Юнга;
- ν — коефіцієнт Пуассона;
- G — модуль зсуву.
Перехід до оцінки міцності
Після визначення компонентів і головних напружень можна застосовувати критерії міцності. Саме тому теорії міцності завершують цей розділ і готують до задач складного опору.
Про цю тему
Напружений стан у точці матеріалу повністю характеризується тензором напружень і визначається сукупністю напружень, що діють по всіх довільно проведених площадках через цю точку. Розрізняють одновісний (лінійний), двовісний (плоский) та тривісний (об'ємний) напружені стани. На цій сторінці ви знайдете теоретичний аналіз компонентів напружень, правила їх трансформації при повороті координатних осей, а також методи визначення головних площадок і головних напружень, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю.