Плоский напружений стан. Перетворення напружень

Плоский напружений стан описують трьома незалежними компонентами: $\sigma_x$, $\sigma_y$ та $\tau_{xy}$. Така модель застосовна, коли компоненти напружень, пов’язані з третім напрямком, можна вважати нульовими або малими порівняно з компонентами в площині.

Навіщо повертати площадку

Значення нормального й дотичного напружень змінюються зі зміною орієнтації площадки. Тому відомі $\sigma_x$, $\sigma_y$ і $\tau_{xy}$ дають змогу знайти напруження на похилій площадці.

Формули перетворення

Для повороту осей на кут $\theta$ в одній із поширених систем знаків:

$$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta,$$

$$\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta.$$

Знаки дотичних компонентів і додатного кута повороту мають використовуватися послідовно відповідно до прийнятої в курсі конвенції.

Що залишається незмінним

При повороті осей окремі компоненти змінюються, але фізичний напружений стан у точці не змінюється. Зокрема, сума нормальних напружень $\sigma_x+\sigma_y$ є інваріантною.

Перехід до головних напружень

Серед усіх орієнтацій існують площадки, на яких дотичне напруження дорівнює нулю. Визначення цих площадок і відповідних головних напружень є наступним кроком аналізу.