Навчальна тема
Узагальнений закон Гука
Узагальнений закон Гука для ізотропного матеріалу: зв’язок σ і ε у трьох напрямках, коефіцієнт Пуассона, об’ємна деформація та плоский стан.
Узагальнений закон Гука описує зв’язок між компонентами напружень і деформацій у лінійно-пружному ізотропному матеріалі. На відміну від одновісної формули $\sigma=E\varepsilon$, він враховує одночасну дію нормальних напружень у трьох напрямках і дотичних напружень.
Вплив коефіцієнта Пуассона
Нормальне напруження в одному напрямку створює не лише поздовжню, а й поперечні деформації. Саме цей взаємний вплив описує коефіцієнт Пуассона $\nu$.
Для однорідного лінійно-пружного ізотропного матеріалу нормальні деформації при тривісному напруженому стані:
$$\varepsilon_x=\frac{1}{E}[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)],$$
$$\varepsilon_y=\frac{1}{E}[\sigma_y-\nu(\sigma_z+\sigma_x)],$$
$$\varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)].$$
Кутові деформації:
$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},\qquad \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G},\qquad \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G},$$
де $G=E/[2(1+\nu)]$.
- E — модуль Юнга;
- ν — коефіцієнт Пуассона;
- G — модуль зсуву.
Головні осі
Якщо систему координат зорієнтувати вздовж головних напрямків, дотичні напруження на головних площадках дорівнюють нулю. Тоді закон Гука для нормальних деформацій можна записати через $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$:
$$\varepsilon_1=\frac{1}{E}[\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3)],$$
а два інші рівняння отримують циклічною перестановкою індексів.
Об’ємна деформація
Мала відносна зміна об’єму визначається сумою лінійних деформацій:
$$\varepsilon_v=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z.$$
Для ізотропного лінійно-пружного матеріалу:
$$\varepsilon_v=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z).$$
Модуль об’ємного стиску:
$$K=\frac{E}{3(1-2\nu)}.$$
За рівномірного гідростатичного тиску p, якщо розтяг вважається додатним, $\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p$ і $\varepsilon_v=-p/K$.
Гідростатична складова напруженого стану пов’язана зі зміною об’єму, тоді як девіаторна складова — зі зміною форми. Це розділення важливе для розуміння енергетичних критеріїв міцності.
Плоский напружений стан
Для тонкої пластини часто приймають $\sigma_z=0$. При цьому деформація $\varepsilon_z$ загалом не дорівнює нулю: через ефект Пуассона напруження $\sigma_x$ і $\sigma_y$ викликають деформацію в напрямку товщини:
$$\varepsilon_z=-\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y).$$
Це важлива відмінність між плоским напруженим і плоским деформованим станами.
Приклад
Нехай $E=200$ ГПа, $\nu=0{,}3$, $\sigma_x=100$ МПа, $\sigma_y=40$ МПа, $\sigma_z=0$. Тоді:
$$\varepsilon_x=\frac{100-0{,}3\cdot40}{200000}=0{,}00044,$$
$$\varepsilon_y=\frac{40-0{,}3\cdot100}{200000}=0{,}00005,$$
$$\varepsilon_z=-\frac{0{,}3(100+40)}{200000}=-0{,}00021.$$
Межі застосування
Наведені співвідношення передбачають малі деформації, однорідний ізотропний матеріал і лінійно-пружну роботу. Для анізотропних матеріалів, пластичного деформування або великих деформацій потрібні інші визначальні співвідношення.
Про цю тему
Узагальнений закон Гука встановлює лінійну залежність між компонентами тензора деформацій та компонентами тензора напружень для ізотропного пружного тіла при тривісному напруженому стані. Розділ охоплює формули для обчислення відносних лінійних деформацій вздовж головних осей, кутових деформацій, а також об'ємної деформації та модуля об'ємного стиску. Подано приклади використання закону Гука для розрахунку тонкостінних резервуарів і труб під внутрішнім тиском.