Навчальна тема

Розрахунок на міцність і жорсткість при розтягу та стиску

Перевірка міцності та жорсткості стержнів при осьовому навантаженні, підбір площі перерізу й визначення допустимого навантаження.

0 практичних завдань · 0 підтем

Тема систематизує основні типи інженерних розрахунків стержнів при центральному розтягу та стиску: перевірку міцності, проєктний підбір площі поперечного перерізу, визначення допустимого навантаження та перевірку жорсткості. Використовуються умови |σmax| ≤ [σ] та |Δl| ≤ [Δl], а також зв’язки σ = N/A і Δl = NL/(EA).

Розрахунок стержня при осьовому навантаженні повинен показати, що конструкція не лише витримує прикладені сили, а й не деформується понад установлені межі. Тому розрізняють розрахунки на міцність і жорсткість.

Для центрального розтягу або стиску перевірку міцності виконують за умовою:

$$|\sigma_{\max}|\le[\sigma].$$

Для однорідного перерізу $\sigma=N/A$, тому при відомій поздовжній силі потрібну площу можна оцінити як:

$$A_{\mathrm{req}}\ge\frac{|N|}{[\sigma]}.$$

Перевірка жорсткості обмежує деформацію або переміщення, наприклад:

$$|\Delta l|\le[\Delta l].$$

$\sigma_{\max}$ — найбільше за модулем нормальне напруження;
$[\sigma]$ — допустиме напруження;
$A_{\mathrm{req}}$ — необхідна площа перерізу;
$\Delta l$ — розрахункова зміна довжини;
$[\Delta l]$ — допустима зміна довжини.

Калькулятор нижче використовує граничну рівність $A=|N|/[\sigma]$ для підбору площі або визначення допустимої сили/напруження.

Перевірочний розрахунок

Якщо геометрія стержня й навантаження відомі, визначають поздовжню силу $N$, обчислюють напруження $\sigma=N/A$ та порівнюють найбільше за модулем значення з допустимим. Якщо умова міцності виконується, переріз задовольняє прийнятий критерій допустимих напружень.

Проєктний розрахунок

Коли навантаження й допустиме напруження відомі, але розміри перерізу потрібно підібрати, визначають необхідну площу $A_{\mathrm{req}}\ge |N|/[\sigma]$. Після цього вибирають реальний стандартний або конструктивно допустимий переріз із площею не меншою за розрахункову та повторно перевіряють його.

Допустиме навантаження

Для заданого перерізу граничне за прийнятою умовою робоче значення поздовжньої сили можна оцінити як $|N|\le[\sigma]A$. Якщо система має кілька ділянок, допустиме навантаження визначає найнебезпечніша ділянка з урахуванням залежності її внутрішньої сили від зовнішнього навантаження.

Перевірка жорсткості

Для прямого призматичного стержня при центральному розтягу або стиску, якщо $N$, $E$ та $A$ сталі на ділянці й матеріал працює лінійно-пружно:

$$\Delta l=\frac{NL}{EA}.$$

$\Delta l$ — зміна довжини стержня;
$N$ — поздовжня сила;
$L$ — початкова довжина ділянки;
$E$ — модуль Юнга;
$A$ — площа поперечного перерізу.

Відносна поздовжня деформація визначається як $\varepsilon=\Delta l/L$. Для ступінчастого стержня сумарну зміну довжини знаходять додаванням деформацій окремих ділянок: $\Delta l=\sum_i N_iL_i/(E_iA_i)$.

Навіть якщо напруження безпечні, надмірне видовження або скорочення може порушити роботу конструкції. Тому розраховане переміщення порівнюють із допустимим значенням, заданим умовами експлуатації або нормативними вимогами.

Приклад підбору площі

Нехай стержень розтягується силою $N=60$ кН, а допустиме напруження становить $[\sigma]=150$ МПа. У системі Н і мм:

$$A_{\mathrm{req}}=\frac{60000}{150}=400\ \text{мм}^2.$$

Отже, слід вибрати переріз із фактичною площею не меншою за 400 мм², а потім перевірити прийнятий переріз за фактичними характеристиками та, за потреби, за жорсткістю.