Навчальна тема

Статично невизначувані задачі при осьовому навантаженні

Як розв’язувати статично невизначувані задачі при розтягу й стиску: рівняння рівноваги, сумісність деформацій, жорсткість EA/L і температурні впливи.

0 практичних завдань 0 підтем

Статично невизначуваною називають систему, у якій кількість невідомих реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість незалежних рівнянь статичної рівноваги. Для визначення всіх невідомих до рівнянь статики додають рівняння сумісності деформацій, що описують геометричні обмеження системи.

Чому рівнянь статики недостатньо

У статично визначуваному осьовому стержні реакції можна знайти лише з умов рівноваги. Якщо ж стержень має додаткові закріплення або система складається з кількох взаємодіючих елементів, рівнянь рівноваги недостатньо. Тоді розподіл сил залежить також від жорсткостей $EA$ та геометрії елементів.

Рівняння деформацій

Для прямого призматичного стержня при центральному розтягу або стиску, якщо $N$, $E$ та $A$ сталі на ділянці й матеріал працює лінійно-пружно:

$$\Delta l=\frac{NL}{EA}.$$

$\Delta l$ — зміна довжини стержня;
$N$ — поздовжня сила;
$L$ — початкова довжина ділянки;
$E$ — модуль Юнга;
$A$ — площа поперечного перерізу.

Відносна поздовжня деформація визначається як $\varepsilon=\Delta l/L$. Для ступінчастого стержня сумарну зміну довжини знаходять додаванням деформацій окремих ділянок: $\Delta l=\sum_i N_iL_i/(E_iA_i)$.

Для кількох ділянок переміщення визначають алгебраїчним сумуванням їх видовжень і скорочень. Якщо діють температурні зміни, до механічної деформації додають температурну складову.

Для вільного однорідного стержня при рівномірній зміні температури:

$$\varepsilon_T=\alpha\Delta T,$$

$$\Delta l_T=\alpha\Delta T\,L.$$

$\varepsilon_T$ — температурна відносна деформація;
$\alpha$ — коефіцієнт лінійного температурного розширення;
$\Delta T$ — зміна температури;
$L$ — початкова довжина стержня;
$\Delta l_T$ — температурна зміна довжини.

Умова сумісності

Умова сумісності випливає з реальної геометрії та закріплень. Наприклад, якщо обидва кінці стержня нерухомі й відстань між опорами не змінюється, сумарна зміна його довжини дорівнює нулю: $\sum_i\Delta l_i=0$. В інших системах переміщення окремих вузлів можуть бути однаковими або пов’язаними геометричним співвідношенням.

Побудуйте розрахункову схему, визначте невідомі реакції або внутрішні сили та встановіть ступінь статичної невизначуваності.
Запишіть усі незалежні рівняння статичної рівноваги.
Сформулюйте геометричну умову сумісності переміщень, яка випливає із закріплень і з’єднань системи.
Виразіть деформації ділянок через внутрішні сили. Для лінійно-пружного осьового стержня використовують $\Delta l_i=N_iL_i/(E_iA_i)$; за температурного впливу додають $\alpha_i\Delta T_iL_i$.
Підставте вирази деформацій у рівняння сумісності та разом із рівняннями рівноваги визначте невідомі сили й реакції.
Обчисліть напруження та виконайте перевірку міцності, а за потреби — жорсткості.
Перевірте знаки, розмірності та виконання початкових рівнянь рівноваги й сумісності.

Простий приклад

Нехай однорідний стержень довжини $L$ і площі $A$ закріплений між двома нерухомими опорами та навантажений осьовою силою в проміжній точці. Реакцій дві, а незалежне рівняння рівноваги вздовж осі одне, тому система один раз статично невизначувана. Друге рівняння отримують із умови, що сумарна зміна відстані між опорами дорівнює нулю. Деформації лівої та правої ділянок виражають через відповідні внутрішні сили та їх жорсткості $EA$.

Вплив жорсткості

У статично невизначуваних системах сили розподіляються між елементами залежно від їх жорсткості. Більш жорсткий елемент за однакової кінематичної умови зазвичай сприймає більшу частину навантаження. Тому зміна площі $A$, модуля $E$ або довжини $L$ може змінити реакції навіть за незмінного зовнішнього навантаження.

Монтажні та температурні впливи

Неточність виготовлення, початковий зазор, примусове складання або зміна температури можуть створювати внутрішні сили навіть без звичайного зовнішнього силового навантаження. Такі задачі розв’язують тим самим принципом: рівновага плюс сумісність повних деформацій.

Перевірка результату

Після визначення реакцій необхідно перевірити рівняння рівноваги, виконання геометричної умови, знаки деформацій і одиниці. Потім знаходять напруження на кожній ділянці та виконують необхідну перевірку міцності.

Про цю тему

Якщо кількість невідомих опорних реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість можливих рівнянь статики, система є статично невизначуваною. Для її розв'язання складають додаткові рівняння сумісності деформацій, які відображають геометричні умови обмежувальних зв'язків. У даному розділі розглянуто ступені статичної невизначуваності, алгоритми розрахунку східчастих стержнів та шарнірно-стержньових систем при розтягу й стиску, а також аналіз монтажних напружень.