Навчальна тема
Складний опір
Як розраховують стержні при одночасній дії кількох навантажень: суперпозиція напружень, косий згин, позацентровий стиск та згин із крученням.
Складний опір виникає, коли в поперечному перерізі стержня одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів: поздовжня сила $N$, згинальні моменти $M_x$ і $M_y$, крутний момент $T$ або поперечні сили. У лінійно-пружній області окремі складові напружень часто визначають незалежно, а потім поєднують за принципом суперпозиції.
Принцип суперпозиції
Якщо матеріал працює лінійно-пружно, деформації малі, а зміна геометрії не впливає істотно на схему навантаження, напруження від окремих силових факторів можна алгебраїчно додавати. Наприклад, осьова сила створює рівномірну складову $N/A$, а згинальні моменти — лінійно змінні нормальні напруження.
Двовісний згин
Якщо центральні осі x та y є головними осями інерції перерізу, а згинальний момент має складові Mx і My, нормальне напруження визначають суперпозицією:
$$\sigma(x,y)=-\frac{M_x}{I_x}y+\frac{M_y}{I_y}x.$$
Рівняння нейтральної лінії отримують з умови $\sigma=0$:
$$-\frac{M_x}{I_x}y+\frac{M_y}{I_y}x=0.$$
- Mx, My — складові згинального моменту відносно головних центральних осей;
- Ix, Iy — головні центральні моменти інерції;
- x, y — координати точки перерізу.
Знаки членів залежать від прийнятих напрямів осей і додатних моментів; у межах одного розрахунку необхідно послідовно дотримуватися однієї конвенції.
Косий згин є типовим випадком складного опору: момент не збігається з однією головною віссю перерізу, тому напруження визначають від двох складових згину.
Позацентрове навантаження
Для позацентрового стиску або розтягу нормальне напруження в довільній точці перерізу зручно записувати через радіуси інерції:
$$\sigma=\frac{N}{A}\left(1+\frac{x\,x_F}{i_y^2}+\frac{y\,y_F}{i_x^2}\right).$$
- $N$ — поздовжня сила;
- $A$ — площа поперечного перерізу;
- $x$, $y$ — координати точки перерізу, де визначають напруження;
- $x_F$, $y_F$ — координати точки прикладання сили відносно центра ваги перерізу;
- $i_x$, $i_y$ — радіуси інерції площі відносно відповідних центральних осей.
Знаки координат задають внесок кожного згинального складника автоматично через їх алгебраїчні значення, тому окремо вибирати знаки перед доданками не потрібно.
Позацентрово прикладена сила еквівалентна центральній силі та одному або двом згинальним моментам. Положення точки прикладання сили визначає, чи весь переріз стискається, чи в ньому з’являється зона розтягу.
Згин із крученням
У приводних валах згин створює нормальні напруження, а крутний момент — дотичні. Оскільки ці компоненти одночасно діють в одній точці, міцність оцінюють за критерієм складного напруженого стану.
У небезпечній точці круглого вала при сумісній дії згину та кручення часто маємо нормальне напруження від згину σb і дотичне напруження від кручення τt:
$$\sigma_b=\frac{M_b}{W},\qquad \tau_t=\frac{T}{W_p}.$$
Для такого плоского напруженого стану еквівалентне напруження за Губером–Мізесом–Генкі:
$$\sigma_{eq,VM}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}.$$
За критерієм Треска:
$$\sigma_{eq,T}=\sqrt{\sigma_b^2+4\tau_t^2}.$$
Отримане еквівалентне напруження порівнюють із допустимим значенням відповідно до матеріалу та прийнятої методики розрахунку.
Калькулятор використовує критерій Губера–Мізеса–Генкі для плоского стану «згин + кручення».
Загальний алгоритм
- Визначити внутрішні силові фактори та їх небезпечні комбінації.
- Вибрати головні центральні осі перерізу та обчислити потрібні геометричні характеристики.
- Знайти компоненти нормальних і дотичних напружень від кожного силового фактора.
- Визначити небезпечні точки перерізу, враховуючи знаки й просторовий розподіл напружень.
- Для складного напруженого стану застосувати критерій міцності, придатний для матеріалу.
- За потреби окремо перевірити жорсткість, стійкість або циклічну міцність.
Межі підходу
Проста суперпозиція не повинна автоматично застосовуватися при пластичному деформуванні, великих переміщеннях, суттєвій геометричній нелінійності або складних локальних концентраціях напружень. У таких випадках потрібна відповідна розширена модель.
Про цю тему
Складним опором називають випадок деформування, коли в поперечних перерізах стержня виникає декілька внутрішніх силових факторів одночасно. У цьому розділі описано загальні принципи застосування принципу незалежності дії сил (суперпозиції) для підсумовування напружень і деформацій. Подано класифікацію видів складного опору: косий згин, згин з розтягом-стиском, позацентровий стиск та сумісний згин з крученням.