Навчальна тема
Косий згин
Розрахунок елементів при косому згині, нейтральна вісь та максимальні напруження.
Косий згин виникає, коли площина дії результуючого згинального моменту не збігається з головною центральною площиною інерції перерізу. Тоді момент розкладають на дві складові відносно головних осей, а нормальні напруження визначають суперпозицією двох прямих згинів.
Головні осі як розрахункова система
Найзручніше виконувати розрахунок у головних центральних осях $x$ та $y$, для яких $I_{xy}=0$. Геометричні характеристики $I_x$ та $I_y$ можуть істотно відрізнятися, тому напрям нейтральної лінії загалом не перпендикулярний вектору результуючого згинального моменту.
Якщо центральні осі x та y є головними осями інерції перерізу, а згинальний момент має складові Mx і My, нормальне напруження визначають суперпозицією:
$$\sigma(x,y)=-\frac{M_x}{I_x}y+\frac{M_y}{I_y}x.$$
Рівняння нейтральної лінії отримують з умови $\sigma=0$:
$$-\frac{M_x}{I_x}y+\frac{M_y}{I_y}x=0.$$
- Mx, My — складові згинального моменту відносно головних центральних осей;
- Ix, Iy — головні центральні моменти інерції;
- x, y — координати точки перерізу.
Знаки членів залежать від прийнятих напрямів осей і додатних моментів; у межах одного розрахунку необхідно послідовно дотримуватися однієї конвенції.
Нейтральна лінія
Нейтральна лінія проходить через центр ваги перерізу, оскільки при чистому косому згині в її точках сумарне нормальне напруження дорівнює нулю. Її положення знаходять із рівняння $\sigma(x,y)=0$.
Якщо $M_x\ne0$ і $I_x$, $I_y$ відомі, рівняння можна подати як:
$$y=\frac{M_y I_x}{M_x I_y}x,$$
з урахуванням знаків складових моменту.
Пошук небезпечних точок
Максимальне за модулем напруження потрібно шукати не просто у точці з найбільшим $|x|$ або $|y|$, а серед крайніх точок контуру, де алгебраїчна сума двох складових згину набуває найбільшого додатного або від’ємного значення. Для багатокутного перерізу зручно перевірити його характерні вершини.
Приклад
Для прямокутного перерізу з відомими $I_x$ та $I_y$ при $M_x=4$ кН·м і $M_y=2$ кН·м напруження в кожній вершині визначають підстановкою її координат у формулу косого згину. Після цього найбільше додатне значення порівнюють із допустимим розтягом, а найбільше за модулем від’ємне — з допустимим стиском, якщо ці характеристики матеріалу відрізняються.
Алгоритм
- Знайти центр ваги та головні центральні осі перерізу.
- Розкласти згинальний момент на $M_x$ і $M_y$.
- Обчислити $I_x$ та $I_y$.
- Записати рівняння нейтральної лінії.
- Обчислити $\sigma$ у характерних крайніх точках.
- Виконати перевірку міцності.
Межі
Формули передбачають пружний згин, малі деформації та застосовність класичної теорії балок. Для нецентральних осей із $I_{xy}\ne0$ просте незалежне додавання членів $M_x/I_x$ і $M_y/I_y$ без попереднього переходу до головних осей загалом некоректне.
Про цю тему
Косий згин виникає тоді, коли площина дії згинального моменту не збігається з жодною з головних осей інерції поперечного перерізу. На цій сторінці розглянуто розкладання згинального моменту за головними осями, формулу сумарних нормальних напружень, а також вивід рівняння нейтральної лінії (лінії нульових напружень). Подано порядок розрахунку на міцність у найвіддаленіших точках перерізу.