Навчальна тема

Напруження при згині

Формула Нав'є та формула Журавського для розрахунку балок на міцність.

При поперечному згині в перерізі балки одночасно можуть виникати нормальні напруження від згинального моменту $M$ та дотичні напруження від поперечної сили $Q$. Їх розподіл по перерізу різний, тому небезпечні точки для $\sigma$ і $\tau$ не обов’язково збігаються.

Нормальні напруження

Для прямого згину балки в межах лінійно-пружної моделі нормальне напруження змінюється лінійно з відстанню від нейтральної осі:

$$\sigma_x(y)=-\frac{My}{I}.$$

За модулем максимальне напруження в крайньому волокні:

$$|\sigma_{\max}|=\frac{|M|y_{\max}}{I}=\frac{|M|}{W},\qquad W=\frac{I}{y_{\max}}.$$

$\sigma_x(y)$ — нормальне напруження в точці перерізу;
$M$ — згинальний момент;
$I$ — осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі;
$y$ — координата точки від нейтральної осі;
$y_{\max}$ — найбільша за модулем відстань до крайнього волокна;
$W$ — момент опору перерізу.

Знак $\sigma_x$ залежить від знаку $M$, координати $y$ та прийнятої системи знаків; одна сторона перерізу працює на розтяг, інша — на стиск.

У класичній моделі прямого згину нейтральна вісь проходить через центр ваги перерізу та збігається з однією з його головних центральних осей. Нормальні напруження змінюються лінійно: на нейтральній осі $\sigma_x=0$, а найбільші за модулем значення виникають у крайніх волокнах.

Розрахунок за моментом опору

Для перевірки міцності зручно використовувати $|\sigma_{\max}|=|M|/W$. Для несиметричного відносно нейтральної осі перерізу відстані до крайніх волокон можуть бути різними, тому окремо перевіряють розтягнуту та стиснуту сторони.

Дотичні напруження

Для поперечного згину дотичне напруження в точці перерізу визначають за формулою Журавського:

$$\tau=\frac{QS}{Ib}.$$

$\tau$ — дотичне напруження;
$Q$ — поперечна сила в перерізі;
$S$ — статичний момент відсіченої частини площі відносно нейтральної осі;
$I$ — момент інерції всього перерізу відносно нейтральної осі;
$b$ — локальна ширина перерізу на рівні точки, де визначають $\tau$.

На вільній верхній або нижній межі суцільного перерізу $S$ прямує до нуля, тому $\tau$ також дорівнює нулю. Для прямокутного перерізу найбільше дотичне напруження розташоване на нейтральній осі.

Для прямокутного перерізу розподіл $\tau$ по висоті є параболічним, а максимальне значення на нейтральній осі дорівнює $\tau_{\max}=3Q/(2A)$. У двотаврових профілях значна частина поперечної сили передається стінкою, оскільки її ширина мала, а статичний момент прилеглої площі може бути значним.

Круглий переріз

Для суцільного круглого перерізу дотичні напруження також дорівнюють нулю на зовнішній межі й найбільші поблизу нейтральної осі; для класичного суцільного круга $\tau_{\max}=4Q/(3A)$.

Перевірка міцності

Нормальні напруження перевіряють у перерізах із великим $|M|$ та у крайніх волокнах. Дотичні — у перерізах із великим $|Q|$ і в характерних точках перерізу. Якщо в одній точці одночасно істотні $\sigma_x$ і $\tau$, може знадобитися оцінка складного напруженого стану за відповідним критерієм міцності.

Межі класичної моделі

Формула Нав’є передбачає лінійно-пружний матеріал, малі деформації та класичні припущення теорії балок. Поблизу місць прикладання зосереджених сил, опор, отворів і різких змін перерізу локальний розподіл напружень може відрізнятися від елементарної теорії.

Про цю тему

При поперечному згині в поперечних перерізах балки виникають як нормальні, так і дотичні напруження. На цій сторінці наведено вивід класичної формули Нав'є для обчислення нормальних напружень через згинальний момент та момент опору перерізу, а також формули Журавського для дотичних напружень. Розглянуто розподіл напружень по висоті прямокутних, двотаврових та круглих перерізів та умови перевірки міцності за небезпечними точками.