Навчальна тема
Внутрішні сили при згині
Побудова епюр Q та M для консольних та двоопорних балок.
При поперечному згині балки в її поперечних перерізах основними внутрішніми силовими факторами є поперечна сила $Q$ та згинальний момент $M$. Їх визначають методом перерізів, а зміну вздовж балки зручно показувати графічно у вигляді епюр.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила $Q$ у перерізі характеризує результуючу внутрішніх дотичних сил, що діють у площині перерізу. Згинальний момент $M$ характеризує дію внутрішніх нормальних сил, які спричиняють викривлення осі балки.
Для визначення $Q$ і $M$ балку подумки розсікають у потрібному перерізі та розглядають рівновагу однієї з відсічених частин.
- Визначте опорні реакції балки з рівнянь рівноваги всієї конструкції.
- Розбийте балку на ділянки. Межами ділянок є опори, точки прикладання зосереджених сил або моментів, а також точки початку чи закінчення розподіленого навантаження.
- На потрібній ділянці проведіть уявний переріз на відстані $x$ від зручного початку координат.
- Розгляньте рівновагу лівої або правої відсіченої частини. Дію відкинутої частини замініть внутрішніми факторами $Q(x)$ та $M(x)$.
- Із рівняння $\sum F_y=0$ визначте поперечну силу $Q(x)$, а з рівняння моментів $\sum M=0$ — згинальний момент $M(x)$.
- Обчисліть характерні значення на межах ділянки та в точках, де $Q(x)=0$. За отриманими значеннями побудуйте епюри $Q$ і $M$.
- Перевірте форму та характер епюр за диференціальними залежностями між $q$, $Q$ і $M$.
Правила знаків
При побудові епюр необхідно користуватися однією системою знаків упродовж усього розрахунку. Додатний згинальний момент зазвичай пов’язують із таким вигином балки, за якого розтягнуті нижні волокна, а стиснуті верхні. Знак поперечної сили визначають відповідно до прийнятого правила для відсіченої частини балки. Якщо після розв’язання рівняння отримано від’ємне значення, фактичний напрям внутрішнього фактора протилежний прийнятому.
Епюри $Q$ і $M$
Епюра — це графік зміни внутрішнього силового фактора вздовж осі балки. Перед побудовою епюр балку розбивають на ділянки. Межами є точки, де змінюється характер навантаження: опори, зосереджені сили та моменти, початок або кінець розподіленого навантаження.
Для балки з розподіленим навантаженням $q(x)$ поперечна сила та згинальний момент пов’язані диференціальними залежностями:
$$\frac{dQ}{dx}=-q(x), \qquad \frac{dM}{dx}=Q(x).$$
- $q(x)$ — інтенсивність розподіленого навантаження;
- $Q(x)$ — поперечна сила;
- $M(x)$ — згинальний момент;
- $x$ — поздовжня координата балки.
Звідси випливає: якщо на ділянці $q=0$, поперечна сила стала, а епюра $M$ змінюється лінійно; якщо $q$ є сталою величиною, $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за квадратичним законом. У перерізі, де $Q$ змінює знак, згинальний момент має локальний екстремум.
Характерні особливості епюр
- зосереджена поперечна сила спричиняє стрибок на епюрі $Q$;
- зосереджений момент спричиняє стрибок на епюрі $M$;
- за відсутності розподіленого навантаження $Q$ на ділянці є сталою, а $M$ змінюється лінійно;
- при рівномірно розподіленому навантаженні $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за параболою;
- у точці, де $Q$ переходить через нуль, $M$ має локальний максимум або мінімум.
Короткий приклад
Розглянемо консольну балку довжиною $L$ із зосередженою силою $F$ на вільному кінці. На всій довжині між силою та защемленням розподіленого навантаження немає, тому поперечна сила є сталою за модулем: $|Q|=F$. Згинальний момент змінюється лінійно від нуля на вільному кінці до максимального за модулем значення $|M|_{\max}=FL$ у защемленні. Знаки $Q$ і $M$ залежать від прийнятої системи знаків.
Перевірка розрахунку
Після побудови епюр перевірте рівновагу балки, стрибки в точках прикладання зосереджених сил і моментів, характер ліній на кожній ділянці та відповідність між нахилом епюри $M$ і знаком $Q$. Така перевірка дозволяє швидко знайти більшість помилок у розрахунку.
Практичні навички
Після опрацювання теми студент має вміти знаходити опорні реакції, розбивати балку на розрахункові ділянки, складати функції $Q(x)$ і $M(x)$, знаходити характерні та екстремальні значення й будувати епюри. Ці навички закріплюються у практичних задачах теми.
Про цю тему
Правильне визначення внутрішніх сил є першим і найважливішим етапом розрахунку балок на згин. У цьому розділі розглянуто застосування методу перерізів для знаходження поперечної сили Q та згинального моменту M у довільних перерізах. Детально пояснено загальноприйняті правила знаків для Q і M, алгоритми розбиття балок на ділянки, методику визначення критичних (екстремальних) перерізів та перевірку правильності побудованих епюр за допомогою диференціальних залежностей.