Рух матеріальної точки під дією типових сил

У задачах динаміки часто повторюються типові моделі сил. Правильний запис цих сил і вибір напрямів дають змогу швидко скласти диференціальне рівняння руху.

Сила тяжіння

Поблизу поверхні Землі силу тяжіння приймають сталою: $\vec F_g=m\vec g$. Якщо опором повітря нехтувати, вертикальний рух має сталу прискореність $g$, напрямлену вниз.

Сила пружності

Для лінійної пружини в межах моделі Гука відновлювальна сила пропорційна деформації та напрямлена проти неї:

$$F_s=-kx.$$

За відсутності інших змінних сил рівняння $m\ddot x+kx=0$ описує вільні гармонічні коливання.

Сухе тертя ковзання

У простій моделі Кулона модуль сили тертя ковзання дорівнює $F_f=\mu N$, а напрям протилежний відносній швидкості ковзання. Знак проєкції сили потрібно визначати за фактичним напрямом руху.

Опір середовища

При невеликих швидкостях часто використовують лінійну модель $\vec R=-c\vec v$. В інших умовах застосовують квадратичну залежність, у якій модуль опору пропорційний $v^2$. Конкретну модель має задавати умова задачі.

Рух по похилій площині

Якщо вісь спрямувати вздовж площини під кутом $\alpha$ до горизонту, складова сили тяжіння вздовж неї має модуль $mg\sin\alpha$, а нормальна складова — $mg\cos\alpha$. За відсутності інших нормальних сил $N=mg\cos\alpha$.

Приклад

Тіло ковзає вниз по похилій площині з коефіцієнтом тертя $\mu$. Якщо додатний напрям вибрано вниз уздовж площини, то $ma=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha$, звідки $a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$.

Типові помилки

• автоматично спрямовувати силу тертя проти осі, а не проти ковзання;
• записувати силу пружності без відновлювального напряму;
• вважати $N=mg$ для будь-якої геометрії руху;
• змішувати лінійну та квадратичну моделі опору середовища.