Момент кількості руху точки

Момент кількості руху характеризує обертальну складову руху матеріальної точки відносно вибраного центра або осі.

Момент кількості руху відносно центра

Для точки $M$ відносно центра $O$:

$$\vec L_O=\vec r\times m\vec v,$$

де $\vec r=\overrightarrow{OM}$. Напрям $\vec L_O$ визначають за правилом правої руки.

Модуль

Модуль моменту кількості руху дорівнює $L_O=mvr\sin\theta=mv h$, де $h$ — перпендикулярна відстань від центра $O$ до лінії швидкості.

Момент відносно осі

Момент кількості руху відносно осі є проєкцією вектора $\vec L_O$ на цю вісь. Для осі $z$: $L_z=(\vec r\times m\vec v)\cdot\vec e_z$.

Теорема про зміну моменту кількості руху

Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:

$$\frac{d\vec L_O}{dt}=\vec M_O,$$

де $\vec M_O=\vec r\times\sum\vec F$ — момент рівнодійної сил відносно $O$.

Закон збереження

Якщо момент рівнодійної зовнішніх сил відносно центра дорівнює нулю, то $\vec L_O=const$. Аналогічно, якщо сума моментів сил відносно певної нерухомої осі дорівнює нулю, відповідна складова моменту кількості руху зберігається.

Приклад

Точка масою 2 кг рухається зі швидкістю 4 м/с перпендикулярно до радіус-вектора довжиною 0,5 м. Тоді $L_O=mvr=2\cdot4\cdot0{,}5=4$ кг·м²/с.

Типові помилки

• плутати момент кількості руху з моментом сили;
• міняти порядок векторного добутку;
• використовувати повну відстань $r$ замість плеча $h$, коли вектори не перпендикулярні;
• застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього моменту.