Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі — рух, за якого дві точки тіла, а отже й пряма, що проходить через них, залишаються нерухомими. Цю пряму називають віссю обертання. Усі інші точки тіла рухаються по колах із центрами на осі.

Закон обертання

Положення тіла визначається кутом повороту $\varphi=\varphi(t)$. Додатний напрям відліку кута задають наперед; разом із ним визначають знаки кутової швидкості та кутового прискорення.

Кутова швидкість і кутове прискорення

Якщо закон обертання тіла навколо нерухомої осі задано кутом повороту $\varphi=\varphi(t)$, то:

$$\omega=\frac{d\varphi}{dt},\qquad \varepsilon=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\varphi}{dt^2}.$$

Знаки $\omega$ та $\varepsilon$ залежать від обраного додатного напряму відліку кута. Якщо вони мають однакові знаки, модуль кутової швидкості зростає; за протилежних знаків — зменшується.

У SI кут вимірюють у радіанах. Кутова швидкість має розмірність рад/с, а кутове прискорення — рад/с²; радіан є безрозмірною похідною одиницею, але його позначення корисне для фізичного змісту величин.

Векторний опис

Вектор $\vec\omega$ напрямлений уздовж осі обертання за правилом правого гвинта. Вектор $\vec\varepsilon=d\vec\omega/dt$ при нерухомій осі також лежить уздовж цієї осі; його напрям відносно $\vec\omega$ показує, чи зростає модуль кутової швидкості.

Рівномірне обертання

Якщо $\omega=const$, то $\varepsilon=0$ і $\varphi=\varphi_0+\omega t$. За один повний оберт зміна кута за модулем дорівнює $2\pi$ рад.

Рівнозмінне обертання

Якщо $\varepsilon=const$, то $\omega=\omega_0+\varepsilon t$, а $\varphi=\varphi_0+\omega_0t+\varepsilon t^2/2$. Ці залежності аналогічні формулам рівнозмінного прямолінійного руху.

Період і частота

Для рівномірного обертання період $T$ — час одного оберту, а частота $f=1/T$ — кількість обертів за одиницю часу. Кутова швидкість пов’язана з ними співвідношенням $\omega=2\pi/T=2\pi f$.

Приклад

Диск обертається рівномірно з частотою $f=5$ Гц. Його кутова швидкість $\omega=2\pi f=10\pi\approx31{,}4$ рад/с. За 2 с диск здійснить 10 повних обертів.

Типові помилки

• плутати кутову швидкість із лінійною швидкістю точки тіла;
• підставляти кут у градусах у формули, розраховані на радіани;
• ігнорувати знак $\omega$ або $\varepsilon$;
• вважати, що точки на осі обертання мають ненульову лінійну швидкість.