Швидкості та прискорення точок тіла при обертанні

Під час обертання твердого тіла навколо нерухомої осі всі точки тіла мають однакові кутову швидкість $\omega$ і кутове прискорення $\varepsilon$, але їхні лінійні швидкості та прискорення залежать від відстані до осі.

Лінійна швидкість

Для точки твердого тіла на відстані $r$ від нерухомої осі обертання модуль лінійної швидкості:

$$v=\omega r.$$

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до кола, яке описує точка, і перпендикулярний до радіуса $r$.

Чим далі точка розташована від осі, тим більший модуль її швидкості за однакової $\omega$. Точки безпосередньо на осі мають $r=0$ і залишаються нерухомими.

Векторна формула швидкості

Для точки з радіус-вектором $\vec r$ від осі до точки швидкість можна подати як $\vec v=\vec\omega\times\vec r$. Ця формула автоматично задає дотичний напрям швидкості за правилом векторного добутку.

Дотичне прискорення

Зміна модуля швидкості зумовлює дотичну складову $a_\tau=\varepsilon r$. Вона напрямлена по дотичній до кола; її напрям залежить від знака кутового прискорення.

Нормальне прискорення

Через зміну напряму швидкості виникає нормальна складова $a_n=\omega^2r=v^2/r$, напрямлена від точки до осі обертання.

Повне прискорення

Дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, тому $a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}=r\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}$. У векторній формі $\vec a=\vec\varepsilon\times\vec r+\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)$.

Приклад

Точка диска розташована на відстані $r=0{,}20$ м від осі. При $\omega=10$ рад/с і $\varepsilon=4$ рад/с² маємо $v=2$ м/с, $a_\tau=0{,}8$ м/с², $a_n=20$ м/с² і $a\approx20{,}02$ м/с².

Типові помилки

• використовувати відстань до центра тіла замість найкоротшої відстані до осі;
• плутати $a_\tau=\varepsilon r$ з $a_n=\omega^2r$;
• вважати, що за сталої $\omega$ прискорення точки дорівнює нулю;
• додавати дотичне та нормальне прискорення алгебраїчно замість векторного додавання.