Швидкості точок при плоскопаралельному русі

Для плоскопаралельного руху швидкості різних точок твердого тіла загалом відрізняються. Їх пов’язує теорема про швидкості точок плоскої фігури.

Теорема про швидкості

Швидкість довільної точки $B$ плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості вибраного полюса $A$ та швидкості точки $B$ при обертанні фігури навколо $A$:

$$\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}.$$

Відносна складова перпендикулярна до відрізка $AB$, а її модуль дорівнює $v_{B/A}=\omega\,AB$.

Вибираючи точку $A$ з відомою швидкістю як полюс, можна визначити швидкість будь-якої іншої точки $B$. Вектор $\vec\omega\times\vec r_{B/A}$ завжди перпендикулярний до $AB$.

Проекції швидкостей

Оскільки відносна швидкість $\vec v_{B/A}$ перпендикулярна до $AB$, проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що їх сполучає, однакові. Ця властивість часто дозволяє швидко знаходити невідомі компоненти без повної векторної побудови.

Миттєвий центр швидкостей

Миттєвий центр швидкостей (МЦШ) — точка площини, швидкість якої в даний момент дорівнює нулю. Якщо МЦШ існує в скінченній точці $P$, рух фігури в цей момент за швидкостями еквівалентний миттєвому обертанню навколо $P$.

Визначення МЦШ

Якщо відомі напрями швидкостей двох точок, через кожну з них проводять пряму, перпендикулярну до відповідної швидкості. Точка перетину цих прямих є МЦШ, якщо вони перетинаються в скінченній точці. Для чистого поступального руху МЦШ розглядають як точку на нескінченності.

Швидкість через МЦШ

Для точки $A$ при відомому МЦШ $P$ модуль швидкості $v_A=|\omega|PA$. Тому $v_A/v_B=PA/PB$. Напрями швидкостей перпендикулярні до прямих $PA$ і $PB$ та узгоджені з одним напрямом миттєвого обертання.

Кочення без проковзування

Для колеса, що котиться без проковзування по нерухомій поверхні, точка контакту має нульову миттєву швидкість і є МЦШ. Звідси для центра колеса $v_C=\omega R$ за модулями.

Приклад

Якщо МЦШ плоскої ланки лежить у точці $P$, $PA=0{,}2$ м, $PB=0{,}5$ м, а $v_A=1$ м/с, то $|\omega|=1/0{,}2=5$ рад/с і $v_B=5\cdot0{,}5=2{,}5$ м/с.

Типові помилки

• вважати МЦШ нерухомою матеріальною точкою тіла на скінченному інтервалі часу;
• будувати МЦШ уздовж напрямів швидкостей замість перпендикулярів до них;
• застосовувати відношення $v_A/v_B=PA/PB$ без спільного МЦШ;
• припускати нульову швидкість точки контакту при коченні з проковзуванням.